Función indicatriz

En matemáticas, la función indicatriz o función característica de un subconjunto ${displaystyle Asubseteq X}$es una función definida en el conjunto ${displaystyle X}$, y que indica la pertenencia, o no, de cada elemento de ${displaystyle X}$ al subconjunto ${displaystyle A}$, al asignar el valor 1 a todos los elementos de ${displaystyle A}$ y el valor 0 a todos los elementos de ${displaystyle Xsetminus A}$ (no incluidos en ${displaystyle A}$).

La función indicatriz del subconjunto ${displaystyle A}$ del conjunto ${displaystyle X}$ es una función

definida como

El corchete de Iverson permite una notación equivalente, ${displaystyle [xin A]}$, que puede usarse en lugar de ${displaystyle mathbf {1} _{A}(x).}$

La función ${displaystyle mathbf {1} _{A}}$ en ocasiones se expresa ${displaystyle chi _{A}!}$ o ${displaystyle mathbf {I} _{A}!}$ o incluso ${displaystyle A!}$. (La letra ${displaystyle chi !}$ se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego.)

La función indicatriz o característica de un subconjunto ${displaystyle A!}$ de un conjunto ${displaystyle X!}$, asocia elementos de ${displaystyle X!}$ al conjunto ${displaystyle {0,1}!}$.

La correspondencia es sobreyectiva solo cuando ${displaystyle A}$ es un subconjunto propio de ${displaystyle X!}$. Si ${displaystyle Aequiv X!}$, entonces ${displaystyle mathbf {1} _{A}=1}$. Por un argumento similar, si ${displaystyle Aequiv varnothing }$ entonces ${displaystyle mathbf {1} _{A}=0}$.

En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "${displaystyle cap }$" y "${displaystyle cup }$" son intersección y unión respectivamente.

Si ${displaystyle A!}$ y ${displaystyle B!}$ son dos subconjuntos de ${displaystyle X!}$, entonces

Pero si tomamos ${displaystyle {0,1}}$ como el anillo ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$ con sus operaciones de suma y producto habituales, entonces:

mostrando que la función que asigna a cada subconjunto del conjunto potencia de ${displaystyle X!}$ su función característica es un isomorfismo de anillos entre el conjunto potencia de ${displaystyle X!}$ (con la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos como producto y suma respectivamente) y el conjunto de las funciones de ${displaystyle X!}$ en ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$ con la suma y producto de funciones definidas por las operaciones dentro del anillo ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$ punto a punto sobre todo ${displaystyle X!}$.

Continuando con el complemento de conjuntos, y generalizando: supongamos que ${displaystyle A_{1},ldots ,A_{n}}$ es una colección de subconjuntos de ${displaystyle X!}$; si denotamos ${displaystyle I_{n}={1,2,3,...,n}}$ como el conjunto de índices, entonces:

es claramente un producto de ${displaystyle 0}$s y ${displaystyle 1}$s. Este producto vale 1 precisamente para los ${displaystyle xin X}$ que no pertenecen a ninguno de los conjuntos ${displaystyle A_{k}!}$ y ${displaystyle 0}$ en caso contrario. Esto es,

Expandiendo el producto del lado izquierdo,

donde ${displaystyle |F|!}$ es la cardinalidad de ${displaystyle F!}$. Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria. La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si ${displaystyle X!}$ es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad ${displaystyle mathbb {P} }$ y ${displaystyle A!}$ es un conjunto medible, entonces ${displaystyle mathbf {1} _{A}}$ se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de ${displaystyle A!}$:

Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.

En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.