Subespacio invariante

En álgebra lineal, un subespacio invariante es un subespacio vectorial que contiene las transformadas de sus vectores, dada la aplicación lineal correspondiente.

Si se tienen un subespacio S y una aplicación f, de manera que las transformadas de los vectores de S a través de f pertenecen al mismo S, se dice que el subespacio S es f-invariante, o invariante por f.^[1]​

Sea ${displaystyle mathbb {V} }$ un conjunto de vectores sobre el cual está definida una estructura de espacio vectorial. Dado un endomorfismo ${displaystyle f:mathbb {V} o mathbb {V} }$ se dice que

Un subespacio ${displaystyle S}$ de ${displaystyle mathbb {V} }$ es un subespacio invariante por ${displaystyle f}$ (o f-invariante) si para todo vector ${displaystyle mathbf {s} in S}$ se cumple que ${displaystyle f(mathbf {s} )in S}$.

En otras palabras, ${displaystyle S}$ es un subespacio invariante si ${displaystyle f(S)subseteq S}$.^[2]​

Al rotar un vector cualquiera de este plano alrededor del eje z se obtiene otro vector en el mismo plano. Es decir que para todo ${displaystyle mathbf {s} in S}$ se tiene que ${displaystyle f(mathbf {s} )in S}$, o bien, si transformamos cualquier vector contenido en xy obtenemos otro vector también contenido en este plano. Por lo tanto, el plano S es f-invariante.

Para toda aplicación lineal se cumple que ${displaystyle f(mathbf {0} )=mathbf {0} }$, entonces ${displaystyle mathbf {0} in mathrm {Ker} (f)}$, como ${displaystyle mathbf {0} =f(mathbf {v} )Longrightarrow f(mathbf {v} )in mathrm {Ker} (f)}$ y ${displaystyle mathrm {Ker} (f)}$ es f-invariante ya que toda imagen de un vector del núcleo también pertenece a él.

No obstante, podría ser que sólo algunos vectores tuvieran imagen. Veamos que es imposible que, en un endomorfismo, ninguno la tenga, puesto que el vector nulo siempre tiene como imagen al vector nulo, por lo tanto pertenece a la imagen de f y a su vez podemos volver a aplicar f al vector de la imagen para obtener cero nuevamente. Como ${displaystyle mathbf {0} in mathrm {Im} (f)Longrightarrow {mathbf {0} }subset mathrm {Im} (f)}$.

Conclusión: ${displaystyle f{ig (}mathrm {Im} (f){ig )}subseteq mathrm {Im} (f)}$ y queda demostrado que ${displaystyle mathrm {Im} (f)}$ es f-invariante.

Es simple demostrar que es invariante, ya que para todo ${displaystyle mathbf {v} in S_{lambda }}$ su transformada ${displaystyle T(mathbf {v} )=lambda mathbf {v} in S_{lambda }}$, basta ver que ${displaystyle T(lambda mathbf {v} )=lambda T(mathbf {v} )=lambda cdot (lambda mathbf {v} )}$. En conclusión, todo autovector transformado también es autovector y, por lo tanto, el espacio ${displaystyle S_{lambda }}$ que generan es invariante.

Notemos que la palabra «invariante» puede generar confusión en el siguiente sentido: un subespacio puede ser invariante y sin embargo «variar» bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es ${displaystyle T(S)subseteq S}$ y no ${displaystyle T(S)=S}$.