Subfactorial

En matemáticas, el subfactorial de un número natural n, a veces escrito como !n, es el número de posibles desarreglos (permutación donde ninguno de sus elementos aparece en la posición original) de un conjunto con n elementos. En términos concretos, el subfactorial cuenta el número de formas diferentes en que n personas podrían cambiar por ejemplo: regalos, donde cada persona da un regalo a otra persona, y cada uno recibe exactamente otro regalo. El subfactorial es una función del conjunto de números naturales que devuelve un valor también natural.

La función subfactorial define la secuencia A000166 en OEIS.

El nombre “subfactorial” viene de la función factorial (usualmente escrita n!), la cual cuenta el número total de permutaciones de un elemento n de un conjunto. El valor del subfactorial es siempre menor o igual que el factorial correspondiente a mismo n:

Los subfactoriales pueden ser calculados usando el principio de inclusión-exclusión.

También pueden ser calculados de las siguientes formas:

donde ${displaystyle Gamma }$ denota la función gamma incompleta, y e es la constante de Euler; o

donde [x] denota la función parte entera más cercana.

donde la secuencia(a_n)_n está dada por ${displaystyle ;a_{0}=a_{1}=1}$ y ${displaystyle a_{n}=n;a_{n-1}+(n-1);a_{n-2}}$; esta es la secuencia OEIS:A000255

Los subfactoriales también pueden ser calculados recursivamente:

Intuitivamente, la expresión anterior puede deducirse a partir de las siguientes observaciones:

Recursivamente, el factorial de un número puede calcularse partiendo de que ${displaystyle !1=0}$ y ${displaystyle !2=1}$ como ${displaystyle !n=(n-1)(!(n-1)+!(n-2)).,}$

La notación !n no es universalmente aceptada. Da ambigüedad a la notación de la función factorial si hay algún valor que procede el subfactorial, lo cual hace que usualmente se necesite un inusual ordenamiento de los factores (véase por ejemplo las fórmulas arriba), o paréntesis rodeando el subfactorial.

El número 148349 es el único número que es igual a la suma de los subfactoriales de sus dígitos:

El uso de subfactoriales a veces es permitido en el juego matemático llamado Cuatro cuatros, donde el hecho que !4 sea 9 es útil.