Subgrupo conmutador
En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma
![{displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fab1df643e968bbe6c84336d0a380d5133c1b0f)
denominado conmutador de a con b.
Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por o . Esto significa que si entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,
![{displaystyle [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335)
![{displaystyle xin [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30cb8b21b5a0be714622e178fcecdf6a2a2aba4)
Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si verifica que es abeliano entonces .
![{displaystyle G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169489000a5a3370a8d0a56d35924011e53b6ab1)
![{displaystyle [G,G]subseteq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4262d3791502f4e98ee52d7bf7d7e2e2a305d5)
La construcción recibe el nombre de abelianización de G.
Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones: