Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

${displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}}$

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por ${displaystyle G'}$ o ${displaystyle [G,G]}$. Esto significa que si ${displaystyle xin [G,G]}$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente ${displaystyle G/[G,G]}$ es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si ${displaystyle Hvartriangleleft G}$ verifica que ${displaystyle G/H}$ es abeliano entonces ${displaystyle [G,G]subseteq H}$.

La construcción ${displaystyle G/[G,G]}$ recibe el nombre de abelianización de G.

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

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