Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido N de un grupo G es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento n de N y cada g en G, el elemento gng^-1 está en N. N es un subgrupo normal de G se escribe

Un subgrupo N de un grupo G se llama subgrupo invariante o divisor normal del grupo G, si para todo elemento n de N y cualquier elemento b de G, resulta ${displaystyle b^{-1}nbin N}$ o de otra manera ${displaystyle b^{-1}Nbsubset N}$, para cualquier elemento ${displaystyle bin G}$.^[1]​

Otra manera de poner esto, es diciendo que coinciden las clases derechas e izquierda de N en G:

Un subgrupo normal puede también ser definido como: Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal si N es una unión de clases de conjugación de G.

{e} y G son siempre subgrupos normales de G. Si éstos son los únicos, entonces G se dice simple.

Todos los subgrupos N de un grupo abeliano G son normales, porque gNg^-1 = Ngg^-1 = N.

Los subgrupos normales de cualquier grupo G forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son { e } y G, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es un grupo producto.

Para que las particiones en clases de congruencia por la derecha y por la izquierda según un subgrupo N coincidan, es necesario y suficiente que el subgrupo N sea invariante.

Sea N un subgrupo invariante de un grupo G, además sean C y D dos clases de congruencia según N : C = Nc y D = Nd. Consideremos el producto CD = NcNd =NNcd = Ncd, es decir el producto CD también es una clase de congruencia según N. Por lo tanto, el conjunto de las clases de congruencia queda provisto de una ley de multiplicación, que cumple los axiomas de grupo. El grupo de las clases de congruencia así hallado se llama grupo cociente del grupo G según el subgrupo invariante N y se denota G/N.^[2]​

En todo grupo existen al menos dos subgrupos invariantes: el subgrupo {e} que contiene sól un elemento - la unidad e- y el subrupo que coincide con G. Un subgrupo se denomina primo ( o simple) si en él no existen otros grupos invariantes que no sean estos dos subgrupos invariantes triviales.

El subgrupo H de todas las matrices cuadradas de orden n, de determinantes iguales a la unidad, es un subgrupo invariante de todas las matrices cuadradas de orden n de determinante no nulo.

Los subgrupos normales son de importancia porque si N es normal, entonces el factor G/N es un grupo. Los subgrupos normales de G son exactamente los núcleos de los homomorfismos de grupo f: G → H.

Si H es normal, podemos definir una multiplicación en clases como

Esto convierte al conjunto de clases en un grupo llamado el grupo cociente G/H. Hay un homomorfismo natural f: G → G/H dado por f (a) = aH. La imagen f (H) consiste solamente en el elemento identidad de G/H, la clase de eH = H.

En general, un homomorfismo de grupo f: G → K envía subgrupos de G a los subgrupos de K. También, la preimagen de cualquier subgrupo de K es un subgrupo de G. Llamamos a la preimagen del grupo trivial {e} en K el núcleo del homomorfismo y lo denotamos por ker(f). Pues resulta que el núcleo es siempre normal y la imagen f (G) de G es siempre isomorfa a G/ker(f). De hecho, esta correspondencia es una biyección entre el conjunto de todos los grupos cociente G/H y el conjunto de todas las imágenes homomórficas de G (salvo isomorfismo).