Suma de Riemann

En matemáticas, la Suma de Riemann es un tipo de aproximación del valor de una integral mediante una suma finita. Se llama así en honor al matemático alemán del siglo XIX, Bernhard Riemann.

La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos, trapezoides, cuadrados, triángulo, parábolas o cúbicas) que juntas forman una región que es similar a la región que se está midiendo, luego calculando el área para cada una de estas formas y, finalmente, agregando todas estas pequeñas áreas juntas. Este enfoque se puede usar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita encontrar una solución de forma cerrada. 5 Debido a que la región rellenada por las formas pequeñas generalmente no es exactamente la misma forma que la región que se está midiendo, la suma de Riemann será diferente del área que se está midiendo. Este error se puede reducir al dividir la región más finamente, utilizando formas cada vez más pequeñas. A medida que las formas se hacen cada vez más pequeñas, la suma se acerca a la integral de Riemann.

Consideremos lo siguiente:

Sea ${displaystyle f:[a,b] ightarrow mathbb {R} }$ una función acotada en el intervalo compacto ${displaystyle [a,b]}$. Para cada partición ${displaystyle P=x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ de ${displaystyle [a,b]}$ llamaremos familia de puntos intermedios (asociada a ${displaystyle P}$) a cualquiera de los conjuntos ${displaystyle T={t_{1},t_{2},...,t_{n}}}$ formado por puntos ${displaystyle t_{i}}$${displaystyle in }$${displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, para ${displaystyle i=1,2,...,n}$.

Se llama Suma de Riemann de ${displaystyle f}$, relativa a la partición ${displaystyle P}$ y a la correspondiente familia de puntos ${displaystyle T}$, al número

${displaystyle sigma (P,T)=sum _{i=1}^{n}f(t_{i})Delta x_{i}}$ donde ${displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$.

Los cuatro métodos de la suma de Riemann generalmente se abordan mejor con particiones del mismo tamaño. Por lo tanto, el intervalo ${displaystyle [a,b]}$ se divide en n subintervalos, cada uno de longitud ${displaystyle Delta x={frac {b-a}{n}}}$. Los puntos en la partición serán entonces

${displaystyle a,a+Delta x,a+2,Delta x,ldots ,a+(n-2),Delta x,a+(n-1),Delta x,b}$.

Para la suma de Riemann izquierda, la aproximación de la función por su valor en el punto del extremo izquierdo proporciona múltiples rectángulos con base ${displaystyle Delta x}$ y altura ${displaystyle f(a+iDelta x)}$. Haciendo esto para ${displaystyle i=0,1,2,...,n-1}$ y sumando las áreas

${displaystyle Delta xleft[f(a)+f(a+Delta x)+f(a+2,Delta x)+cdots +f(b-Delta x) ight]}$.

La suma de Riemann de la izquierda equivale a una sobreestimación si ${displaystyle f}$ disminuye monótonamente en este intervalo, y una subestimación si aumenta monótonamente.

${displaystyle f}$ se aproxima aquí por el valor en el punto final derecho. Esto da múltiples rectángulos con base ${displaystyle Delta x}$ y altura ${displaystyle f(a+iDelta x)}$. Haciendo esto para ${displaystyle i=1,2,...,n}$ y sumando las áreas resultantes se produce

${displaystyle Delta xleft[f(a+Delta x)+f(a+2,Delta x)+cdots +f(b) ight]}$.

La suma correcta de Riemann equivale a una subestimación si ${displaystyle f}$ disminuye monótonamente, y una sobreestimación si aumenta monótonamente. El error de esta fórmula será

${displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-A_{mathrm {right} } ightvert leq {frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}}}$

donde ${displaystyle M_{1}}$es el valor máximo del valor absoluto de ${displaystyle f'(x)}$.

La aproximación de ${displaystyle f}$ en el punto medio de los intervalos da ${displaystyle f(a+Delta x/2)}$ para el primer intervalo, para el siguiente ${displaystyle f(a+3Delta x/2)}$, y así sucesivamente hasta ${displaystyle f(b-Delta x/2)}$. Resumiendo las áreas, resulta:

${displaystyle Delta xleft[f(a+{ frac {Delta x}{2}})+f(a+{ frac {3,Delta x}{2}})+cdots +f(b-{ frac {Delta x}{2}}) ight]}$.

El error de esta fórmula será

${displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-A_{mathrm {mid} } ightvert leq {frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}}$

donde ${displaystyle M_{2}}$ es el valor máximo del valor absoluto ${displaystyle f^{prime prime }(x)}$ en el intervalo.

En este caso, el valor de la función f en un intervalo se aproxima por el promedio de los valores de los extremos a izquierda y derecha. De la manera ya descrita, un simple cálculo usando la fórmula del área

para un trapecio con lados paralelos b₁, b₂ y altura h se produce

El error de esta fórmula será

donde ${displaystyle M_{2}}$ es el valor máximo del valor absoluto de ${displaystyle f^{prime prime }(x)}$.

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.

Para una suma unidimensional de Riemann sobre dominio ${displaystyle { [a,b]}}$, a medida que el tamaño máximo de un elemento de partición se reduce a cero (es decir, el límite de la norma de la partición tiende a cero), algunas funciones harán que todas las sumas de Riemann converjan al mismo valor. Este valor límite, si existe, se define como la integral de Riemann definida de la función sobre el dominio:

${displaystyle int _{a}^{b}!f(x),dx=lim _{|Delta x| ightarrow 0}sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{star }),Delta x_{i}}$.

Para un dominio de tamaño finito, si el tamaño máximo de un elemento de partición se reduce a cero, esto implica que el número de elementos de partición va al infinito. Para particiones finitas, las sumas de Riemann son siempre aproximaciones al valor límite y esta aproximación mejora a medida que la partición se vuelve más fina. Las siguientes animaciones ayudan a demostrar cómo aumentar el número de particiones (mientras se reduce el tamaño máximo del elemento de partición) se aproxima mejor al «área» debajo de la curva:

suma por la izquierda

suma intermedia

suma por la derecha

Como se supone que la función roja aquí es una función uniforme, las tres sumas de Riemann convergerán al mismo valor, ya que el número de particiones va al infinito.

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