Valor absoluto

En matemáticas, el valor absoluto o módulo^[1]​ de un número real ${displaystyle x}$, denotado por ${displaystyle |x|}$, es el valor no negativo de ${displaystyle x}$ sin importar el signo, sea este positivo o negativo.^[2]​ Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Para cualquier número real ${displaystyle x}$, el valor absoluto de ${displaystyle x}$ se denota por ${displaystyle |x|}$ y se define como:^[3]​

El valor absoluto de ${displaystyle x}$ es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo: cuando ${displaystyle x}$ es un número negativo ${displaystyle (x<0)}$ entonces su valor absoluto es necesariamente positivo ${displaystyle (|x|=-x>0)}$.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto entre la diferencia de dos números es la distancia entre ellos.

Si ${displaystyle x}$ es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:

La función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto.

Formalmente, el valor absoluto de todo número real ${displaystyle x,}$ está definido por:^[5]​

${displaystyle {egin{array}{rccl}{ ext{abs}}:&mathbb {R} & o &mathbb {R} ^{+}cup {0}\&x& o &y={ ext{abs}}(x)end{array}}}$

que se expresa:

${displaystyle { ext{abs}}(x)=|x|=left{{egin{array}{rcl}x,&{mbox{si}}&xgeq 0\-x,&{mbox{si}}&x<0end{array}} ight.}$

La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:

${displaystyle { ext{id}}(x)={ ext{sgn}}(x);{ ext{abs}}(x)}$

Por definición, el valor absoluto de ${displaystyle x,}$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para hallar la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto que expresa la distancia a lo largo de la recta numérica real.

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

El conjunto de los reales con la norma definida por el valor absoluto ${displaystyle (mathbb {R} ,|cdot |)}$ es un espacio de Banach.^[8]​

La generalización cabe. pues en R y C van a expresar la noción de distancia.

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

${displaystyle z=x+iy=r(cos phi +isin phi ),qquad {ar {z}}=x-iy}$

es el conjugado de z, entonces se verifica que:

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Además de en los números complejos la función valor absoluto puede extenderse a números hipercomplejos como los cuaterniones o los octoniones. En estas álgebras sobre los números reales el valor absoluto de un número h se define como:

${displaystyle |h|={sqrt {h{ar {h}}}}}$

Donde ${displaystyle {ar {h}}}$ representa el hiperconjungado de h.

En espacios vectoriales que no son álgebras sobre los reales, los conceptos de módulo, norma y seminorma generalizan la noción de valor absoluto de los números reales.

En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(), llabs(), fabs(), fabsf() y fabsl().

La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:

Sin embargo, al tratar con coma flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.^{[cita requerida]}

Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en una arquitectura x86, con la sintaxis de Intel:

cdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa, entonces edx se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax sin cambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejando el valor absoluto del valor negativo en eax.