Teorema de Carathéodory

En la rama del análisis matemático una parte relevante es la denominada teoría de la medida, la cual estudia la medida de conjuntos y les asigna un valor a estos. En la vida cotidiana medimos o clasificamos los conjuntos según su longitud, superficie o volumen, incluso utilizamos otras magnitudes como la densidad, peso, viscosidad, dureza y muchas otras características que puedan ocurrírsenos. En matemáticas los conjuntos se pueden separar en aquellos que pueden medirse y aquellos que no; intuitivamente podemos pensar que esto es absurdo, puesto que todo conjunto tiene una de estas medidas mencionadas recientemente, pero lo cierto es que existen numerosos más conjuntos no medibles que medibles, que a priori no encontramos en la naturaleza, y estos no medibles son incluso difícil de definir explícitamente en muchos casos.

Puesto que una medida es una aplicación como veremos más adelante, pueden existir varias medidas; una destacable es la medida de Lebesgue en la que se asientan las bases de la integral de Lebesgue.

Para comprender el teorema de Carathéodory es aconsejable recordar el concepto o definición de medida.

Definición: Una medida en un conjunto X es una aplicación ${displaystyle mu :Mlongrightarrow [0,+infty ]}$, donde M es una ${displaystyle sigma }$-álgebra en X. tal que:

Definición: (Medida exterior) Una medida exterior en X es una aplicación ${displaystyle mu ^{ast }:wp (X)longrightarrow [0,+infty ]}$ que cumple tres propiedades:

Propiedad: Toda medida en X, definida en ${displaystyle wp (X)}$, es una medida exterior en X. (El recíproco no es cierto).

Es por ese motivo que las medidas exteriores son más fáciles de construir que las medidas. Para construir la medida de Lebesgue lo que se hace es, construir una medida exterior, denominada medida exterior de Lebesgue, ya que es más fácil de construir y utilizando el teorema de Carathéodory podemos definir la medida de Lebesgue con la que se asientan lan bases de la integral de Lebesgue.

Sea ${displaystyle mu ^{ast }}$ una medida exterior en X. Un subconjunto ${displaystyle Asubset X}$ se dice ${displaystyle mu ^{ast }}$-medible si ${displaystyle mu ^{ast }(B)=mu ^{ast }(Bcap A)+mu ^{ast }(Bsetminus A)}$ para todo ${displaystyle Bsubset X}$. El conjunto ${displaystyle Msubset wp (X)}$ formado por todos los conjuntos ${displaystyle mu ^{ast }}$-medibles es una ${displaystyle sigma }$-álgebra en X y ${displaystyle mu =mu _{|M}^{ast }}$ (${displaystyle mu ^{ast }}$ restringida en ${displaystyle M}$) es una medida en X. Además, ${displaystyle {Ein M:mu (E)=0}={Asubset X:mu ^{ast }(A)=0}}$

En particular, ${displaystyle mu }$ es una medida completa, es decir, si ${displaystyle Ein M}$ y ${displaystyle mu (E)=0}$ entonces todo ${displaystyle E'subset E}$ también cumple ${displaystyle E'in M}$ y ${displaystyle mu (E')=0}$.

Es relevante destacar que el teorema muestra también como construir la medida exterior a partir de una medida cualquiera definida en una semi-álgebra (como por ejemplo, los intervalos semiabiertos en ${displaystyle mathbb {R} }$). Así, si la medida definida en la semiálgebra es ${displaystyle u }$, la medida exterior estará dada por ${displaystyle mu ^{ast }(A)=inf{sum _{A_{i}in mathbb {A} } u (A_{i}):mathbb {A} in {mathcal {R}}(A)}}$, donde ${displaystyle {mathcal {R}}(A)={mathbb {A} subset mathbb {P} (X)tq|mathbb {A} |=|mathbb {N} |,Asubseteq igcup (A_{i}:A_{i}in mathbb {A} )}}$

En el caso particular de ${displaystyle mathbb {R} }$, la semiálgebra es ${displaystyle S={(a,b]:a,bin mathbb {R} }}$, y la medida sobre ella está dada por ${displaystyle u ((a,b])=b-a}$.