Teorema de Ceva

El teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental. El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si

${displaystyle {frac {AF}{FB}}cdot {frac {BD}{DC}}cdot {frac {CE}{EA}}=1,}$

donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).

Sean A, B y C los vértices de un triángulo cualquiera y los puntos L, M y N dos puntos en sus respectivos lados opuestos. El teorema de Ceva expresa que si las rectas AL, BM y CN pasan por un mismo punto entonces

${displaystyle {frac {AN}{NB}}cdot {frac {BL}{LC}}cdot {frac {CM}{MA}}=1,}$

Si en cada lado de un triángulo se escoge un punto (no coincidente con el vértice) de tal modo que el producto de las razones, en que los puntos señalados dividen los lados del triángulo, sea igual a 1, entonces las rectas que unen los vértices del triángulo y los puntos de lados opuestos pasan por un mismo centro (punto).En forma sucinta si ${displaystyle {frac {AN}{NB}}cdot {frac {BL}{LC}}cdot {frac {CM}{MA}}=1,}$ entonces Al, BM, y CN pasan por el mismo punto.^[1]​

Existe una forma trigonométrica equivalente del teorema de Ceva, que establece que , AD,BE,CF son concurrentes si y solo si

${displaystyle {frac {sin angle BAD}{sin angle CAD}}cdot {frac {sin angle CBE}{sin angle ABE}}cdot {frac {sin angle ACF}{sin angle BCF}}=1.}$

El teorema fue demostrado en 1678 por Giovanni Ceva en su trabajo De lineis rectis, pero con anterioridad por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, un rey de la taifa de Zaragoza del siglo XI.