Teorema de Heine-Borel

En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ o de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.^{[cita requerida]}

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto ${displaystyle Esubset mathbb {C} ^{n}}$ tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real. Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba.^[1]​ Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904.^[1]​ Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación estaba restringida a conjuntos contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.^[2]​

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea ${displaystyle F}$ un conjunto cerrado y ${displaystyle K}$ un conjunto compacto tales que ${displaystyle Fsubset Ksubset mathbb {R} ^{n}}$.

Sea ${displaystyle {G_{a}}}$ una cubierta abierta de ${displaystyle F}$, entonces ${displaystyle {G_{a}}cup {F^{c}}}$ es una cubierta abierta de ${displaystyle K}$ (podemos agregar ${displaystyle F^{c}}$ ya que es abierto). Como ${displaystyle K}$ es compacto entonces ${displaystyle {G_{a},F^{c}}}$ tiene un refinamiento finito que también cubre a ${displaystyle K}$. Podemos quitar a ${displaystyle F^{c}}$ y sigue cubriendo a ${displaystyle F}$. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de ${displaystyle F}$

Si ${displaystyle Esubset Ksubset mathbb {R} ^{n}}$, donde ${displaystyle E}$ es un conjunto infinito y ${displaystyle K}$ es compacto, entonces ${displaystyle E}$ tiene un punto de acumulación en ${displaystyle K}$

Si ${displaystyle E}$ no tuviera puntos de acumulación en ${displaystyle K}$ entonces ${displaystyle forall ain Kexists B_{varepsilon }(a)}$ tal que ${displaystyle B_{varepsilon }(a)-a}$ no contiene puntos de ${displaystyle E}$ donde ${displaystyle B_{varepsilon }}$ es una epsilon-vecindad y ${displaystyle varepsilon >0}$. Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta para ${displaystyle E}$ pero no tiene un refinamiento finito, esto también es cierto para ${displaystyle K}$, que contradiría la definición de que es compacto.

Toda k-celda es compacta

Sea ${displaystyle I}$ una k-celda que consiste de todos los puntos x${displaystyle =(x_{1},x_{2},...,x_{k})}$ tal que ${displaystyle aleq x_{j}leq b}$ y ${displaystyle j=1,2,...,k}$. Sea ${displaystyle delta =(sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}}$ entonces si ${displaystyle x,yin I}$ ${displaystyle |x-y|<delta }$. Sea ${displaystyle {G_{a}}}$ una cubierta arbitraria de ${displaystyle I,}$ y supongamos que ${displaystyle I}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${displaystyle G_{a}}$'s.

Tomemos ${displaystyle c_{s}={frac {a_{s}+b_{s}}{2}}}$ entonces los intervalos ${displaystyle [a_{s},c_{s}][c_{s},b_{s}]}$ determinan ${displaystyle 2^{k}}$ celdas ${displaystyle Q_{i}i=1,2,...,2^{k}}$. Entonces por lo menos un ${displaystyle Q_{i}}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${displaystyle G_{a}}$'s. Lo llamaremos ${displaystyle I_{1}}$ y así obtenemos una sucesión ${displaystyle {I_{n}}}$ tal que:

Digamos que ${displaystyle hin {cap }_{n}I_{n}}$, como ${displaystyle {cup }_{a}G_{a}}$ cubre a ${displaystyle I}$ entonces ${displaystyle hin G_{b}subset {cup }_{a}G_{a}}$. Como ${displaystyle G_{b}}$ es abierto ${displaystyle exists B_{varepsilon }(h)subset G_{b}}$. Si tomamos n suficientemente grande tal que ${displaystyle 2^{-n}delta <varepsilon }$ tenemos que este ${displaystyle I_{n}subset B_{varepsilon }(h)subset G_{b}}$ lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de ${displaystyle G_{a}}$'s.

Si cumple 1) entonces ${displaystyle Esubset I}$ para alguna k-celda ${displaystyle I}$, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si ${displaystyle E}$ no es acotado, entonces contiene un conjunto {${displaystyle x_{n}}$} tal que ${displaystyle |x_{n}|>n}$ entonces el subconjunto {${displaystyle x_{n}}$} es infinito pero no tiene puntos de acumulación en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, lo cual contradice 3). Si ${displaystyle E}$ no es cerrado, entonces existe un elemento ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}}$ que es un punto de acumulación de ${displaystyle E}$ pero no está en ${displaystyle E}$. Para ${displaystyle n=1,2,...}$ existen ${displaystyle x_{n}in E}$ tales que ${displaystyle |x_{n}-x_{0}|<1/n}$, entonces el conjunto {${displaystyle x_{n}}$} es un subconjunto infinito de ${displaystyle E}$ cuyo único punto de acumulación es el ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}}$, que no pertenece a ${displaystyle E}$, lo que contradice 3).