Teorema de Rivlin-Ericksen

El teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se debe fundamentalmente a Ronald Rivlin y establece una limitación importante a la ecuación constitutiva de un sólido deformable isótropo y objetivo.

El teorema afirma que si ${displaystyle mathbf {C} }$ es el tensor de respuesta que relaciona el tensor gradiente de deformación F con el tensor tensión T de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es F entonces su tensor tensión viene dado por:

${displaystyle T=mathbf {C} (F)={ar {mathbf {C} }}(FF^{T})}$

Donde:

${displaystyle mathbf {M_{3}} }$, conjunto de matrices de 3×3.
${displaystyle mathbf {S_{3}} }$, conjunto de matrices 3×3 simétricas.
${displaystyle mathbf {S_{>3}} }$, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.
${displaystyle iota _{E}}$, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz E.

Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación F, el tensor de Finger B = FF^T y el tensor deformación espacial (de Almansi) D_e es simplemente:

${displaystyle B=FF^{T}=(I-2D_{e})^{-1},}$

Donde I es la matriz identidad, puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo:

${displaystyle T=eta _{0}(iota _{B})I+eta _{1}(iota _{B})(I-2D_{e})^{-1}+eta _{2}(iota _{B})(I-2D_{e})^{-2},}$

Para el caso de sólidos elásticos lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensión T y el tensor deformación D están relacionados por:

${displaystyle T=mathbf {C} (I+2D)=lambda mathrm {tr} (D)I+2mu D}$

Donde λ y μ reciben los nombres de primer y segundo coeficientes de Lamé, y son constantes elásticas específicas de cada material. Es decir, un sólido elástico lineal tiene:

${displaystyle eta _{0}(iota _{D})=lambda mathrm {tr} (D)-mu ;qquad eta _{1}(iota _{D})=mu ;qquad eta _{2}(iota _{E})=0,}$

Esta ley constitutiva es funcionalmente idéntica a la de un material de Saint-Venant–Kirchhoff.