Teorema de isomorfia de Noether

Los teoremas de isomorfía o, más propiamente, teoremas de isomorfía de Noether, son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Su nombre se debe a la matemática alemana Emmy Noether, quien formuló estos resultados de forma general en 1927.

Sea ${displaystyle f:Glongrightarrow H}$ un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo ${displaystyle {ar {f}}:G/(ker f)longrightarrow mathrm {im} f}$, y por tanto

${displaystyle G/(ker f)cong mathrm {im} f.}$

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfía se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:

donde ${displaystyle pi :Glongrightarrow G/ker f}$ es la proyección canónica de ${displaystyle G}$ en ${displaystyle G/ker f}$.

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

donde

es la aplicación de proyección en el cociente, y ${displaystyle j:im f o G'}$ la inclusión.

Definimos

Esta aplicación está bien definida, pues no depende de la elección del representante de gK. Supongamos que ${displaystyle hin gK}$. Entonces ${displaystyle gh^{-1}in K}$ y por tanto

Además es un homomorfismo, puesto que

${displaystyle {hat {f}}}$ es uno a uno: supongamos que ${displaystyle {hat {f}}(gK)={hat {f}}(hK)}$. Entonces ${displaystyle f(g)=f(h)}$ y ${displaystyle gh^{-1}in K}$, con lo que ${displaystyle gK=hK}$.

Para ver que es sobreyectiva basta observar que para todo ${displaystyle yin im f}$ existe ${displaystyle gin G}$ tal que ${displaystyle f(g)=y}$. En consecuencia ${displaystyle {hat {f}}(gK)=y}$.

Con esto queda demostrado que ${displaystyle {hat {f}}}$ es un isomorfismo.^[1]​

El primer teorema de isomorfía de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

${displaystyle f(i)=[i]_{n}.,!}$

Es claro que ${displaystyle f(i)=[0]_{n},!}$ si y sólo si ${displaystyle nmid i}$, luego ${displaystyle ker f=nmathbb {Z} }$, así que

${displaystyle (mathbb {Z} /nmathbb {Z} ,+)cong (mathbb {Z} _{n},+).}$

${displaystyle S_{n}/A_{n}cong left({-1,1},cdot ight).}$

Si ${displaystyle N}$ y ${displaystyle H}$ son subgrupos de un grupo ${displaystyle G}$, con ${displaystyle N}$ normal en ${displaystyle G}$, entonces

${displaystyle H/(Hcap N)cong (HN)/N.}$

Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues si ${displaystyle N}$ es normal a G entonces también lo es ${displaystyle Hcap N}$ en ${displaystyle H}$, y puede demostrarse que el epimorfismo

${displaystyle {egin{array}{rcl}varphi :H&longrightarrow &(HN)/N\h&mapsto &hNend{array}}}$

cumple con ${displaystyle ker varphi =Hcap N}$. Si ${displaystyle pi :HNlongrightarrow (HN)/N}$ y ${displaystyle ho :Hlongrightarrow H/(Hcap N)}$ son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo ${displaystyle psi :H/(Hcap N)longrightarrow (HN)/N}$ se describe por el diagrama conmutativo siguiente:

Si ${displaystyle N}$ y ${displaystyle H}$ son subgrupos normales de un grupo ${displaystyle G}$, con ${displaystyle Nsubseteq H}$, entonces

${displaystyle G/Hcong (G/N)/(H/N)}$

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

donde ${displaystyle varphi _{1},varphi _{2}}$ son proyecciones canónicas, ${displaystyle {mbox{id}},!}$ es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfía, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.