Homomorfismo de grupos

En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.

Dados dos grupos ${displaystyle (G,circ )}$ y ${displaystyle (H,ast )}$ la aplicación ${displaystyle quad varphi :Glongrightarrow Hquad }$ es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos ${displaystyle a,bin G}$

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (${displaystyle circ }$) es la ley de composición interna en ${displaystyle G}$, y la operación del lado derecho de la ecuación (${displaystyle ast }$) es la ley de composición interna en ${displaystyle H}$.^[1]​

Si la aplicación ${displaystyle varphi }$ es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Dados dos grupos ${displaystyle (G,circ )}$ y ${displaystyle (H,ast )}$, en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de ${displaystyle G}$ un elemento h de ${displaystyle H}$:

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos ${displaystyle a,bin G}$

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (${displaystyle circ }$) es la ley de composición interna en ${displaystyle G}$, y la operación del lado derecho de la ecuación (${displaystyle ast }$) es la ley de composición interna en ${displaystyle H}$.^[1]​

El conjunto de todos los elementos de ${displaystyle H}$ que son la imagen de algún elemento de ${displaystyle G}$ se llama la imagen de la aplicación, y se denota ${displaystyle { m {{Im}(varphi )}}}$ o ${displaystyle varphi (G)}$.^[2]​ Formalmente:

La imagen de ${displaystyle varphi }$ es un subgrupo de ${displaystyle H}$.

El conjunto de todos los elementos de ${displaystyle G}$ cuya imagen es el elemento identidad de ${displaystyle H}$ se llama núcleo (kernel) de ${displaystyle varphi }$:

El núcleo de ${displaystyle varphi }$ es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:^[3]​

Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.

La función exponencial en un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

dado que ${displaystyle quad f(x+y)=e^{x+y}=e^{x} e^{y}=f(x)cdot f(y)}$

La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.

La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:

dado que ${displaystyle quad det(A imes B)=det(A)cdot det(B)}$.

Dado un homomorfismo de grupos ${displaystyle quad varphi :Glongrightarrow Hquad }$, se verifican las siguientes propiedades:

Por ser ${displaystyle 1_{G}}$ la identidad: ${displaystyle 1_{G}=1_{G}circ 1_{G}}$

Por ser ${displaystyle varphi }$ un homomorfismo: ${displaystyle varphi (1_{G})=varphi (1_{G})ast varphi (1_{G})}$

Multiplicando por ${displaystyle varphi (1_{G})^{-1}}$: ${displaystyle varphi (1_{G})ast varphi (1_{G})^{-1}=varphi (1_{G})ast varphi (1_{G})ast varphi (1_{G})^{-1}}$

Simplificando: ${displaystyle 1_{H}=varphi (1_{G})ast 1_{H}=varphi (1_{G})}$.

Por el resultado anterior ${displaystyle 1_{G}in ker(varphi )}$, así que el núcleo contiene como mínimo al elemento identidad.

Aplicando las propiedades obtenidas hasta ahora:

y dado que los elemento inversos son únicos: ${displaystyle varphi (a^{-1})=varphi (a)^{-1}}$.

Veamos que se cumplen las siguientes propiedades:

Veamos que se cumplen las siguientes propiedades:

Para demostrar que ${displaystyle G'}$ es normal en ${displaystyle G}$ se debe cumplir que

pero ${displaystyle forall g'in G'Rightarrow varphi (g^{-1}circ g'circ g)=(varphi (g)^{-1}ast varphi (g')ast varphi (g))in H'}$

dado que ${displaystyle H'}$ es normal en ${displaystyle H}$.

Primero veamos que es un subgrupo:

Además, es un subgrupo normal en ${displaystyle G}$ porque es la preimagen de ${displaystyle 1_{H}}$ (el subgrupo trivial de ${displaystyle H}$), que es normal en ${displaystyle H}$.

Veamos que se cumplen las siguientes propiedades:

Sean ${displaystyle f:Glongrightarrow H}$ un homomorfismo de grupos y ${displaystyle N}$ un subgrupo normal de ${displaystyle G}$ contenido en el núcleo de ${displaystyle f}$, entonces existe un único homomorfismo ${displaystyle {ar {f}}}$ tal que ${displaystyle {ar {f}}circ varphi =f}$, en donde ${displaystyle varphi :Glongrightarrow G/N}$ es la proyección canónica y ${displaystyle G/N}$ es un grupo cociente.^[5]​

Sea ${displaystyle f:Glongrightarrow H}$ un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo ${displaystyle {ar {f}}:G/(ker f)longrightarrow mathrm {im} f}$, y por tanto ${displaystyle G/(ker f)cong mathrm {im} f.}$

Si ${displaystyle N}$ y ${displaystyle H}$ son subgrupos de un grupo ${displaystyle G}$, con ${displaystyle N}$ normal en ${displaystyle G}$, entonces ${displaystyle NH}$ es un subgrupo de ${displaystyle G}$, ${displaystyle Hcap N}$ es normal en ${displaystyle G}$ y ${displaystyle H/(Hcap N)cong (HN)/N.}$

Si ${displaystyle N}$ y ${displaystyle H}$ son subgrupos normales de un grupo ${displaystyle G}$, con ${displaystyle Nsubseteq H}$, entonces ${displaystyle G/Hcong (G/N)/(H/N).}$