Teorema del seno

En trigonometría plana, el teorema de los senos^[1]​ o también conocido como ley de los senos^[2]​ es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Teorema de los senos

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

${displaystyle {frac {a}{sin ,A}}={frac {b}{sin ,B}}={frac {c}{sin ,C}}}$

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin, la ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X. Ha sido indistintamente atribuido a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.^[3]​

El libro de Ibn Muʿādh al-Jayyānī del siglo XI, El libro de los arcos desconocidos de una esfera introdujo la ley general de los senos.^[4]​ La ley plana de los senos fue descrita más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En su Sobre la figura del sector, declaró la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó las pruebas de esta ley.^[5]​

Según Glen Van Brummelen, «La ley de los senos está en realidad basada en Regiomontanus, en sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones fueron a su vez las bases de sus soluciones de los triángulos generales.»^[6]​ Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son congruentes, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

${displaystyle operatorname {sen} ,A=operatorname {sen} ,P={frac {BC}{BP}}={frac {a}{2R}}}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

${displaystyle {frac {a}{operatorname {sen} ,A}}=2R}$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

${displaystyle {frac {a}{operatorname {sen} ,A}}={frac {b}{operatorname {sen} ,B}}={frac {c}{operatorname {sen} ,C}}=2R.}$

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo la razón, entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto, es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en:

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al sustituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

${displaystyle Area={frac {a;h}{2}}={frac {a;b,;operatorname {sen} ,C}{2}}={frac {a;b;c}{4;R}}}$.