Teorema fundamental de la geometría de Riemann

En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama conexión de Levi-Civita.

Más exactamente:

Sea ${displaystyle (M,g)}$ una variedad de Riemann (o variedad pseudoriemanniana) entonces hay una conexión única ${displaystyle abla }$ que satisface las condiciones siguientes:

La prueba técnica siguiente presenta una fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en un conjunto coordenado local. Para una métrica dada este conjunto de ecuaciones puede llegar a ser algo complicado. Hay métodos más rápidos y más simples de obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, e.g. con la integral de acción y las ecuaciones asociadas de Euler-Lagrange.

En esta prueba utilizamos la notación de Einstein.

Considérese el conjunto coordinado local ${displaystyle x^{i}, i=1,2,...,m=dim(M)}$ y denotemos por ${displaystyle {mathbf {e} }_{i}={partial over partial x^{i}}}$ el campo de los marcos de base.

Los componentes ${displaystyle g_{i;j}}$ son números reales del tensor métrico aplicado a una base, es decir

Para especificar la conexión es suficiente especificar los símbolos de Christoffel ${displaystyle Gamma _{ij}^{k}}$.

Puesto que ${displaystyle Gamma _{ij}^{k}}$ son los campos coordenados vectoriales tenemos que

para todos i y j. Por lo tanto la segunda propiedad es equivalente a

La primera propiedad de la conexión de Levi-Civita (arriba) entonces es equivalente a

Esto da la relación única entre los símbolos de Christoffel (que definen la derivada covariante) y los componentes del tensor métrico.

Podemos invertir esta ecuación y expresar los símbolos de Christoffel con un pequeño truco, escribiendo a esta ecuación tres veces con una elección práctica de los índices

Sumando, la mayoría de los términos en el lado derecho se cancelan y nos quedamos con

O con el inverso de ${displaystyle mathbf {g} }$, definido como (con la delta de Kronecker)

escribimos los símbolos de Christoffel como

Es decir los símbolos de Christoffel (y por lo tanto la derivada covariante) son determinados totalmente por la métrica, con las ecuaciones que implican la derivada de la métrica.