Símbolos de Christoffel

¿Qué día cumple años Símbolos de Christoffel?

Símbolos de Christoffel cumple los años el 18 de septiembre.

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¿Qué día nació Símbolos de Christoffel?

Símbolos de Christoffel nació el día 18 de septiembre de 900.

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¿Cuántos años tiene Símbolos de Christoffel?

La edad actual es 1123 años. Símbolos de Christoffel cumplirá 1124 años el 18 de septiembre de este año.

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¿De qué signo es Símbolos de Christoffel?

Símbolos de Christoffel es del signo de Virgo.

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En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel, así nombrados por Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión. Inversamente, la notación formal (sin índices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.

Las definiciones dadas abajo son válidas para las variedades de Riemann y las variedades seudoriemannianas, tales como las de la relatividad general, con la distinción cuidadosa que debe ser hecha entre los índices superiores e inferiores (índices contra- y covariantes). Las fórmulas valen para cualquier convención de signo, a menos que se establezca explícitamente en forma diferente.

Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la anulación de la derivada covariante del tensor métrico g_{i k}:

${displaystyle D_{l}g_{ik}={frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}-g_{mk}Gamma _{il}^{m}-g_{im}Gamma _{kl}^{m}=0}$

Permutando los índices, y resumiendo, se puede solucionar explícitamente para la conexión:

${displaystyle Gamma _{kl}^{i}={frac {1}{2}}g^{im}left({frac {partial g_{mk}}{partial x^{l}}}+{frac {partial g_{ml}}{partial x^{k}}}-{frac {partial g_{kl}}{partial x^{m}}} ight)={frac {1}{2}}g^{im}{frac {partial g_{mk}}{partial x^{l}}}+{frac {1}{2}}g^{im}{frac {partial g_{ml}}{partial x^{k}}}-{frac {1}{2}}g^{im}{frac {partial g_{kl}}{partial x^{m}}}}$

Obsérvese que aunque los símbolos tienen tres índices en ellos, no son tensores. No se transforman como tensores. En cambio, son los componentes de un objeto en el segundo fibrado tangente, un fibrado "jet". Vea abajo para las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel bajo cambio de la base coordenada.

Observe que la mayoría de los autores eligen definir los símbolos de Christoffel en una base coordenada holonómica, que es la convención seguida aquí. En coordenadas no holonómicas, los símbolos de Christoffel toman la forma más compleja:

donde ${displaystyle c_{klm}=g_{mp}{c_{kl}}^{p}}$ son los coeficientes de conmutación de la base; es decir,

donde e_k son los vectores de base y [,] es el corchete de Lie. Un ejemplo de una base anholonómica con coeficientes no triviales de conmutación son las coordenadas esféricas y cilíndricas.

Las expresiones abajo son válidas solamente en una base holonómica, a menos que se establezca en forma diferente.

Sean X y Y campos vectoriales con los componentes Xⁱ y Y^k. Entonces el componente k-ésimo de la derivada covariante de Y con respecto a X viene dada por

${displaystyle left( abla _{X}Y ight)^{k}=X^{i}D_{i}Y^{k}=X^{i}left({frac {partial Y^{k}}{partial x^{i}}}+Gamma _{im}^{k}Y^{m} ight)}$.

Algunos libros viejos de física escriben de vez en cuando dx en lugar de X, y lo ponen después de la ecuación, más bien que antes. Aquí, se utiliza la notación de Einstein, los índices repetidos establecen la adición sobre esos índices y la contracción con el tensor métrico sirve para levantar y para bajar índices:

${displaystyle langle X,Y angle =g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}}$.

Tenga presente que ${displaystyle g_{ik} eq g^{ik}}$ y que ${displaystyle g_{k}^{i}=delta _{k}^{i}}$, la delta de Kronecker. La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices inferiores; la forma correcta de obtener g^{i k} de g_{i k} es solucionar la ecuación lineal ${displaystyle g^{ij}g_{jk}=delta _{k}^{i}}$.

La afirmación de que la conexión es libre de torsión , a saber que

${displaystyle abla _{X}Y- abla _{Y}X=[X,Y]}$

es equivalente a la afirmación de que el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores:

${displaystyle Gamma _{jk}^{i}=Gamma _{kj}^{i}}$.

El artículo sobre derivada covariante proporciona discusión adicional de la correspondencia entre las notaciones con o sin índices. Contrayendo índices ligados, se consigue

${displaystyle Gamma _{ki}^{i}={frac {1}{2}}g^{im}{frac {partial g_{im}}{partial x_{k}}}={frac {1}{2g}}{frac {partial g}{partial x_{k}}}={frac {partial log {sqrt {|g}}}{partial x_{k}}}}$

Donde |g| es el valor absoluto del determinante de tensor métrico g_{i k}. Similarmente,

${displaystyle g^{kl}Gamma _{kl}^{i}={frac {-1}{sqrt {|g}}};{frac {partial {sqrt {|g|}},g^{ik}}{partial x^{k}}}}$

La derivada covariante de un vector V^m es

${displaystyle D_{l}V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{l}}}+Gamma _{kl}^{m}V^{k}}$

La divergencia covariante es

${displaystyle D_{m}V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{m}}}+V^{k}{frac {partial log {sqrt {|g}}}{partial x^{k}}}={frac {1}{sqrt {|g}}}{frac {partial (V^{m}{sqrt {|g|}})}{partial x^{m}}}}$.

La derivada covariante de un tensor A^{i k} es

${displaystyle D_{l}A^{ik}={frac {partial A^{ik}}{partial x^{l}}}+Gamma _{ml}^{i}A^{mk}+Gamma _{ml}^{k}A^{im}}$

Si el tensor es antisimétrico, entonces su divergencia se simplifica a

${displaystyle D_{k}A^{ik}={frac {1}{sqrt {|g}}}{frac {partial (A^{ik}{sqrt {|g|}})}{partial x^{k}}}}$.

La derivada contravariante de un campo escalar φ se llama el gradiente de φ. Es decir, el gradiente es el diferencial con el índice levantado:

${displaystyle D^{i}phi =g^{ik}{frac {partial phi }{partial x^{k}}}}$

El laplaciano de un potencial escalar viene dado por

${displaystyle Delta phi ={frac {1}{sqrt {|g}}}{frac {partial }{partial x^{i}}}left(g^{ik}{sqrt {|g|}}{frac {partial phi }{partial x^{k}}} ight)}$.

El laplaciano es la divergencia covariante del gradiente, esto es Δφ = D_i Dⁱφ .

El tensor de curvatura de Riemann viene dado en términos de los símbolos de Christoffel y las derivadas de estos por:

${displaystyle R_{iklm}={frac {1}{2}}left({frac {partial ^{2}g_{im}}{partial x^{k}partial x^{l}}}+{frac {partial ^{2}g_{kl}}{partial x^{i}partial x^{m}}}-{frac {partial ^{2}g_{il}}{partial x^{k}partial x^{m}}}-{frac {partial ^{2}g_{km}}{partial x^{i}partial x^{l}}} ight)+g_{np}left(Gamma _{kl}^{n}Gamma _{im}^{p}-Gamma _{km}^{n}Gamma _{il}^{p} ight)}$.

Las simetrías del tensor son:

${displaystyle R_{iklm}=R_{lmik},}$ y ${displaystyle R_{iklm}=-R_{kilm}=-R_{ikml},}$.

Es decir, es simétrico en el intercambio del primer y último par de índices, y antisimétrico en la permutación de un par.

La suma de la permutación cíclica es

${displaystyle R_{iklm}+R_{imkl}+R_{ilmk}=0,}$

La identidad de Bianchi es

${displaystyle D_{m}R_{ikl}^{n}+D_{l}R_{imk}^{n}+D_{k}R_{ilm}^{n}=0}$

El tensor de Ricci viene dado por una contracción de índices del tensor de curvatura de Riemann, explícitamente contrayendo índices:

Usando las fórmulas de la sección anterior y aplicando la contracción, se puede ver que el tensor de Ricci viene dado en términos de los símbolos de Christoffel por:

Este tensor es simétrico: ${displaystyle R_{ik}=R_{ki}}$. Si se realiza una última contracción sobre los dos índices del tensor de Ricci se obtiene la curvatura escalar que viene dada por:

La derivada covariante de la curvatura escalar se sigue de la identidad de Bianchi:

El tensor de Weyl viene dado por

${displaystyle C_{iklm}=R_{iklm}+{frac {1}{2}}left(-R_{il}g_{km}+R_{im}g_{kl}+R_{kl}g_{im}-R_{km}g_{il} ight)+{frac {1}{6}}Rleft(g_{il}g_{km}-g_{im}g_{kl} ight)}$

Bajo cambio de variable de ${displaystyle (x^{1},...,x^{n})}$ a ${displaystyle (y^{1},...,y^{n})}$, los vectores se transforman como

y por tanto

donde el sobrelineado denota los símbolos de Christoffel en el marco de las coordenadas ${displaystyle (y^{1},...,y^{n})}$.

Los símbolos de Christoffel no transforman como tensores bajo transformaciones generales de coordenadas (TGC's).

Desarrollamos el primer miembro de la ecuación y después solo cambiamos indices adecuadamente para obtener el segundo y tercer término

${displaystyle {egin{aligned}{dfrac {partial {ar {g}}_{jl}}{partial {ar {x}}^{k}}}&={dfrac {partial }{partial {ar {x}}^{k}}}left({dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}}g_{st} ight)\&={dfrac {partial }{partial {ar {x}}^{k}}}left({dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}} ight)g_{st}+{dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}}{dfrac {partial g_{st}}{partial {ar {x}}^{k}}}\&={dfrac {partial }{partial {ar {x}}^{k}}}left({dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}} ight){dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}}g_{st}+{dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial }{partial {ar {x}}^{k}}}left({dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}} ight)g_{st}+{dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}}{dfrac {partial x^{r}}{partial {ar {x}}^{k}}}{dfrac {partial g_{st}}{partial x^{r}}}\&={dfrac {partial ^{2}x^{s}}{partial {ar {x}}^{k}partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}}g_{st}+{dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial ^{2}x^{t}}{partial {ar {x}}^{k}partial {ar {x}}^{l}}}g_{st}+{dfrac {partial x^{s}}{partial {ar {x}}^{j}}}{dfrac {partial x^{t}}{partial {ar {x}}^{l}}}{dfrac {partial x^{r}}{partial {ar {x}}^{k}}}{dfrac {partial g_{st}}{partial x^{r}}}end{aligned}}}$

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