Teorema rango-nulidad

En matemáticas, el teorema rango–nulidad es un teorema en álgebra lineal, que dice que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango (dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su kernel).

Sean ${displaystyle V}$ y ${displaystyle W}$ espacios vectoriales con ${displaystyle dim V<+infty }$ y sea ${displaystyle T:V o W}$ una transformación lineal entonces

donde

es decir

Sea ${displaystyle T:V o W}$ una transformación lineal. Supongamos que el conjunto ${displaystyle {color {red}mathbf {u} _{1},ldots ,mathbf {u} _{m}color {black}}in V}$ forma una base del núcleo de T, (ker T). Por el teorema de extensión de la base, podemos extender este conjunto para formar una base de V: ${displaystyle {color {red}mathbf {u} _{1},ldots ,mathbf {u} _{m}color {black},color {blue}mathbf {w} _{1},ldots ,mathbf {w} _{n}color {black}}in V}$. Puesto que la dimensión del núcleo de T es m y la dimensión de V es m + n, solo se necesita demostrar que la dimensión de la imagen de T (im T) es n.

Veamos que el conjunto ${displaystyle {color {blue}Tmathbf {w} _{1},ldots ,Tmathbf {w} _{n}color {black}}in W}$ es una base de im T. Para ello, se debe demostrar que genera a im T y que son linealmente independientes.

Sea v un vector arbitrario en V. Existen escalares únicos tales que:

Por lo tanto, ${displaystyle {color {blue}Tmathbf {w} _{1},ldots ,Tmathbf {w} _{n}color {black}}}$ genera la im T.

Ahora, solo se necesita demostrar que el conjunto ${displaystyle {color {blue}Tmathbf {w} _{1},ldots ,Tmathbf {w} _{n}color {black}}}$ es linealmente independiente. Podemos hacer esto demostrando que una combinación lineal de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:

Entonces, puesto que u_i genera a ker T, existe un conjunto de escalares d_i tales que:

Pero, puesto que el conjunto ${displaystyle {color {red}mathbf {u} _{1},ldots ,mathbf {u} _{m}color {black},color {blue}mathbf {w} _{1},ldots ,mathbf {w} _{n}color {black}}}$ forma una base de V, todos los escalares c_i, d_i deben ser cero. Por lo tanto, ${displaystyle {color {blue}Tmathbf {w} _{1},ldots ,Tmathbf {w} _{n}color {black}}}$ es linealmente independiente y forma una base de im T. Esto prueba que la dimensión de im T es n, como se deseaba.