Sistema generador

En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema generador de V a un conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo. En este caso, el espacio vectorial V se denomina conjunto generado o espacio generado.^{[nota 1]}​

Esto también es válido para subconjuntos de V, en esos casos se habla de subconjuntos generados, o más específicamente, subespacios generados por el sistema generador en cuestión.

No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no siempre es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.

Para cualquier sistema generador A formado por n elementos, siempre podremos hallar una base B comprendida en A con un número de elementos menor o igual que n.

Primero debe definirse el concepto de espacio generado o span lineal. Es el subespacio vectorial más pequeño posible que contiene a un cierto conjunto dado de antemano, formalmente lo definiremos de la siguiente manera.

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$, y sea ${displaystyle A={v_{1},v_{2},dots ,v_{m}}}$ un conjunto cualquiera de vectores pertenecientes a V, en el cual m puede tomar tanto valores mayores como menores a n. En el caso particular ${displaystyle n=m}$ hablamos de una base de V.

Conjunto generado

Se define a ${displaystyle S=left{sum _{i=1}^{m}k_{i}v_{i}:k_{i}in mathbb {K} ight}}$

como el conjunto generado o engendrado por A, también denominado lema o clausura lineal de A.^[2]​

De la definición se sigue que S está constituido por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de A.^[3]​ Esto nos permite enunciar lo siguiente

S es un subespacio vectorial de V.

De ahí que también sea denominado subespacio generado.

QED.

Se define entonces, bajo estas condiciones,

Sistema generador

El conjunto A es un sistema generador si existe un conjunto S al cual genera, es decir, si todo vector de S puede expresarse como combinación lineal de los elementos de A. En ese caso, se dice que A es el generador de S, o bien que engendra a S.

Para representar al subespacio generado S se utilizan las siguientes notaciones, todas equivalentes:^[1]​^[3]​^[4]​^[5]​

en tanto A sea el sistema generador de S.

Cuando un sistema generador es linealmente independiente, se dice que constituye una base del espacio que genera. Formalmente, dado un espacio vectorial V de dimensión n y un subconjunto ordenado ${displaystyle A={v_{1},v_{2},dots ,v_{n}}}$ de vectores de este espacio, este último es una base de V si se cumple que

donde ${displaystyle mathbb {K} }$ representa el cuerpo sobre el cual fue definido V.

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