Teselación hexagonal
En geometría, un teselado hexagonal es un tipo de teselado regular del plano Euclídeo formado exclusivamente por hexágonos. Tiene un símbolo de Schläfli de {6,3} o t{3,6} (visto como un teselado triangular truncado).
Coloquialmente, es denominada como estructura de panal de abeja. El matemático John Horton Conway acuñó la denominación de hextille (traducible como hextesela) para referirse a este teselado concreto.
Es uno de los tres únicos tipos de teselado que puede realizarse con polígonos regulares. Cada vértice de la tesela es compartido por tres hexágonos regulares, y dado que el ángulo interno de un hexágono es de 120 grados, la confluencia cubre un ángulo total de 360 grados. También es posible realizar teselas empleando hexágonos que no sean regulares.
Panales de abeja
Alambrada de gallinero
Representación del grafeno
Tablero de Ajedrez hexagonal
Hay tres coloraciones uniformes distintas de un mosaico hexagonal, todas generadas a partir de la simetría especular de la construcción de Wythoff. Los pares (h, k) representan la repetición periódica de un mosaico de color, contando las teselas hexagonales que se deben recorrer para alcanzar desde una tesela de un color dado otra tesela del mismo color, con h pasos en una primera dirección, y en su caso, k pasos en una segunda dirección.
El mosaico de 3 colores es un teselado generado por permutoedros de orden 3.
En un mosaico hexagonal achaflanado se reemplazan los bordes por nuevos hexágonos, llegando a transformarse en otro mosaico hexagonal. En el límite, las caras originales desaparecen, y los nuevos hexágonos degeneran en rombos, convirtiéndose en un teselado rómbico.
Cada hexágono se puede dividir en un conjunto de 6 triángulos. Este proceso lleva a dos teselados regulares y a otros tantos teselados triangulares:
El teselado hexagonal puede considerarse un "teselado rómbico alargado", donde cada vértice del embaldosado rómbico se estira formando un nuevo borde. Esto es similar a la relación entre los teselados a base de rombododecaedros y a base de rombo-hexagonal dodecaedros en 3 dimensiones.
También es posible subdividir los prototipos de ciertos mosaicos hexagonales en dos, tres, cuatro o nueve pentágonos iguales:
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de mosaicos regulares con caras hexagonales, comenzando con el mosaico hexagonal, con Símbolo de Schläfli {6, n} y diagrama de Coxeter-Dinkyn 
, progresando hasta el infinito.
Este mosaico está relacionado topológicamente con poliedros regulares con figura de vértice n3, como parte de la secuencia que continúa en el plano hiperbólico.
Se relaciona de manera similar con el poliedro truncado uniforme con la figura de vértices n. 6.6.
Este mosaico también forma parte de una secuencia de poliedros rómbicos truncados y mosaicos con simetría [n, 3] del grupo de Coxeter. El cubo se puede ver como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados. Las formas truncadas tienen n-gons regulares en los vértices truncados y caras hexagonales no regulares.
Al igual que en los poliedros uniformes, existen ocho teselados uniformes que pueden basarse en el mosaico hexagonal regular (o en el teselado triangular dual).
Dibujando las fichas coloreadas en rojo en las caras originales, amarillas en los vértices originales y azules en los bordes originales, existen 8 formas, 7 de ellas topológicamente distintas. (El "mosaico triangular truncado" es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).
Existen tres tipos de mosaicos hexagonales monoedrales convexos. Todos son isoedrales. Cada uno tiene variaciones paramétricas dentro de una simetría fija. El tipo 2 posee simetría por deslizamiento, y es 2-isoedral considerando iguales los pares quirales.
Los enlosados hexagonales se pueden hacer con la topología {6,3} idéntica a la del mosaico regular (3 hexágonos alrededor de cada vértice). Con caras isoédricas, hay 13 variaciones. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color. Los colores aquí representan las posiciones en la celosía. Las celosías de un solo color (1 baldosa) son hexágonos paralelogonales.
Otros mosaicos revestidos con teselas isoedrales como cuadriláteros y pentágonos que no se adosan borde-a-borde, se asocian topológicamente a teselados hexagonales considerando que sus lados se pueden interpretar como aristas adyacentes colineales:
Los teselados 2 uniformes y 3 uniformes tienen un grado de libertad de rotación que distorsiona 2/3 de los hexágonos, incluida un caso colineal que también se puede ver como un mosaico de hexágonos sin adosado borde a borde y triángulos más grandes.
Así mismo, se puede distorsionar en un patrón de tejido tridireccional quiral de 4 colores, que distorsiona algunos hexágonos en paralelogramos. El patrón tejido con 2 caras de colores tiene simetría de rotación 632 (p6).
El mosaico hexagonal se puede usar como un empaquetamiento de círculos, colocando círculos de igual diámetro con el centro en los puntos de la retícula. Cada círculo está en contacto con otros 3 círculos en el empaquetamiento (número de osculación). Cada arista de la retícula queda recubierta con dos círculos, por lo que se pueden colorear alternativamente. El espacio interior de cada hexágono permite disponer un círculo más, creando el empaquetamiento más denso del teselado triangular, con cada círculo en contacto con un máximo de 6 círculos.
Existen dos apeirógonos complejos regulares, compartiendo los vértices del mosaico hexagonal. Los apeirógonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde a su vez las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogonos regulares p{q}r están restringidos por la condición de que: 1 / p + 2/q + 1/r = 1. Cada arista contiene p vértices y en función del número de vértices se dice que son r-gonales.
El primero está compuesto por 2 aristas, tres alrededor de cada vértice; el segundo tiene bordes hexagonales, tres alrededor de cada vértice. Un tercer apeirógono complejo, que comparte los mismos vértices, es cuasirregular, y alterna 2 aristas y 6 aristas.