Tetraedro de Hill

En geometría, los tetraedros de Hill son una familia de tetraedros que llenan el espacio. Fueron descubiertos en 1896 por M. J. M. Hill, profesor de matemáticas en el University College de Londres, quien demostró que son corte-congruentes con un cubo.

Para cada ${displaystyle alpha in (0,2pi /3)}$, sean ${displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}in mathbb {R} ^{3}}$ tres vectores unitarios con ángulo ${displaystyle alpha }$ entre cada dos de ellos. Se define el tetraedro de Hill ${displaystyle Q(alpha )}$ de la manera siguiente:

Un caso especial ${displaystyle Q=Q(pi /2)}$ es el tetraedro cuyos todos sus lados son triángulos rectángulos, dos con lados ${displaystyle (1,1,{sqrt {2}})}$ y dos con lados ${displaystyle (1,{sqrt {2}},{sqrt {3}})}$. Ludwig Schläfli estudió ${displaystyle Q}$ como un caso especial del ortoesquema, y H. S. M. Coxeter lo denominó el tetraedro característico del recubrimiento espacial cúbico.

En 1951, Hugo Hadwiger encontró la siguiente generalización n-dimensional del tetraedro de Hill:

donde los vectores ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}}$ satisfacen que ${displaystyle (v_{i},v_{j})=w}$ para todo ${displaystyle 1leq i<jleq n}$, y donde ${displaystyle -1/(n-1)<w<1}$. Demostró que todos esos simplices son corte congruentes con un hipercubo.