Traspuesto conjugado

En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz ${displaystyle A}$, es una matriz ${displaystyle A^{+}}$(también denotada como ${displaystyle A^{*}}$, o como ${displaystyle A^{H}}$) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz ${displaystyle A=(a_{ij})in mathbb {C} }$ es definido como ${displaystyle A^{*}=({ar {a}}_{ji})}$, que es el traspuesto de ${displaystyle A}$ y todos los elementos ${displaystyle a_{ij}}$ conjugados. Nota que si ${displaystyle A=(a_{ij})in mathbb {R} Rightarrow A^{*}=A^{T}}$, es decir, si los elementos de ${displaystyle A}$ son reales, la adjunta de ${displaystyle A}$ coincide con su traspuesta. También nombrado hermítico adjunto, la hermítica o hermítico conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

Si ${displaystyle mathbf {A} }$ es una matriz de n x m sobre los complejos: ${displaystyle Ain M_{n imes m}(mathbb {C} )}$ de la forma:

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz ${displaystyle mathbf {A} }$, produce a la matriz traspuesta:

Una matriz ${displaystyle A={egin{pmatrix}2i&6-i\3+i&4end{pmatrix}}}$ tiene el traspuesto conjugado ${displaystyle A^{*}={egin{pmatrix}-2i&3-i\6+i&4end{pmatrix}}}$

Una matriz cuadrada ${displaystyle mathbf {A} ^{+}}$ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y ${displaystyle mathbf {A} ^{+}=mathbf {A} }$. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definición se tienen las siguientes propiedades: