Trisectriz caracol

En geometría, una trisectriz caracol (conocida también por la palabra francesa "limaçon", caracol) es una forma específica de la curva cuártica denominada caracol de Pascal. La forma de esta trisectriz también se puede obtener a partir de otras curvas, como la rosa polar, la concoide, la epitrocoide o el óvalo cartesiano.^[1]​ La curva es una entre una serie de trisectrices definidas en el plano que incluyen la concoide de Nicomedes,^[2]​ la cicloide de Ceva,^[3]​ la cuadratriz de Hipias, la trisectriz de Maclaurin y la cúbica de Tschirnhausen. La trisectriz caracol es un caso especial de una sectriz de Maclaurin.

La trisectriz caracol especificada en coordenadas polares toma la forma

La constante ${displaystyle a}$ puede ser positiva o negativa. Las dos curvas con constantes ${displaystyle a}$ y ${displaystyle -a}$ son simétricas entre sí respecto a la recta ${displaystyle heta =pi /2}$. El período de ${displaystyle r=a(1+2cos heta )}$ es ${displaystyle 2pi }$, según el período de la sinusoide ${displaystyle cos heta }$.

La trisectriz caracol se compone de dos bucles.

La curva se puede especificar en coordenadas cartesianas como

y ecuaciones paramétricas

En coordenadas polares, la forma de ${displaystyle r=a(1+2cos heta )}$ es la misma que la de la rosa ${displaystyle r=2acos( heta /3)}$. Los correspondientes puntos de la rosa son una ${displaystyle |a|}$ distancia a la izquierda de los puntos de la limaçon cuando ${displaystyle a>0}$, and ${displaystyle |a|}$ to the right when ${displaystyle a<0}$. Como una rosa, la curva tiene la estructura de un solo pétalo con dos bucles que está incrustado en el círculo ${displaystyle r=2a}$ y es simétrico con respecto al eje polar.

La curva inversa de esta rosa es una trisectriz, ya que tiene la misma forma que la trisectriz de Maclaurin.

Véase el artículo sectriz de Maclaurin sobre el caracol como un caso de la sectriz.

Los bucles exterior e interior de la trisectriz caracol tienen propiedades de trisección de ángulo. En teoría, un ángulo se puede trisecar utilizando un método con cualquiera de las propiedades, aunque las consideraciones prácticas pueden limitar su uso.

La construcción del bucle exterior de ${displaystyle r=1+2cos heta }$ revela sus propiedades de trisección de un ángulo.^[5]​ El bucle exterior existe en el intervalo ${displaystyle -2pi /3leq heta leq 2pi /3}$. Aquí, se examina la propiedad trisectriz de la porción del bucle exterior por encima del eje polar, es decir, definida en el intervalo ${displaystyle 0leq heta leq 2pi /3}$.

Dada esta construcción, se muestra que ${displaystyle angle {QMP}}$ y otros dos ángulos trisecan ${displaystyle angle {PMB}}$ de la siguiente manera:

La mitad superior del bucle exterior puede trisecar cualquier ángulo central de ${displaystyle r=2cos heta }$ porque ${displaystyle 0<3alpha /2<pi }$ implica ${displaystyle 0<alpha <2pi /3}$ que está en el dominio del bucle exterior.

El bucle interno de la trisectriz caracol tiene la propiedad de que la trisección de un ángulo es interna al ángulo que se está trisecando.^[6]​ Aquí, se examina el bucle interno de ${displaystyle r=1+2cos heta }$ que se encuentra por encima del eje polar, que se define en el intervalo de ángulo polar ${displaystyle pi leq heta leq 4pi /3}$. La propiedad de la trisección es que dado un ángulo central que incluye un punto ${displaystyle C}$ que se encuentra en el círculo unitario con el centro en el polo, ${displaystyle r=1}$, tiene una medida tres veces la medida del ángulo polar del punto ${displaystyle P}$ en la intersección de la cuerda ${displaystyle {overline {CM}}}$ y el bucle interno, donde ${displaystyle M}$ está en ${displaystyle (1,0)}$.

En coordenadas cartesianas la ecuación de ${displaystyle {overleftrightarrow {CM}}}$ es ${displaystyle y=k(x-1)}$, donde ${displaystyle k<0}$, que es la ecuación polar

(Nota: el arcotangente de dos parámetros (y, x) da el ángulo polar del punto de coordenadas cartesianas (x, y))

Dado que la línea normal a ${displaystyle {overleftrightarrow {CM}}}$ es ${displaystyle heta =phi }$, biseca el vértice del triángulo isósceles ${displaystyle riangle {CAM}}$, por lo que ${displaystyle mangle {CAM}=2phi }$ y la coordenada polar de ${displaystyle C}$ es ${displaystyle 2phi }$.

Con respecto al caracol, el rango de ángulos polares ${displaystyle pi leq heta leq 4pi /3}$ que define el bucle interno es problemático, porque el rango de ángulos polares sujetos a trisección cae en el rango ${displaystyle 0leq heta leq pi }$. Además, en su dominio original, las coordenadas radiales del bucle interno no son positivas. Luego, el bucle interno se redefine de manera equivalente dentro del rango de ángulo polar de interés y con coordenadas radiales no negativas como ${displaystyle r=-(1+2cos( heta +pi ))=-(1-2cos heta )}$, donde ${displaystyle -cos( heta +pi )=cos heta }$. Por tanto, la coordenada polar ${displaystyle alpha }$ de ${displaystyle P}$ está determinada por

La última ecuación tiene dos soluciones, la primera es: ${displaystyle alpha -phi =2alpha -phi }$, que da como resultado ${displaystyle alpha =0}$, el eje polar, una recta que interseca ambas curvas pero no en el círculo unitario ${displaystyle C}$.

La segunda solución se basa en la identidad ${displaystyle cos(x)=cos(-x)}$ que se expresa como

y muestra que ${displaystyle mangle {CAM}=3(mangle {PAM})}$, lo que demuestra a su vez que el ángulo más grande se ha trisecado.

La mitad superior del bucle interior puede trisecar cualquier ángulo central de ${displaystyle r=1}$ porque ${displaystyle 0<3alpha <pi }$ implica ${displaystyle 0<alpha <pi /3}$ que está en el dominio del bucle redefinido.

La trisectriz caracol ${displaystyle r=a(1+2cos heta )}$ triseca el segmento de línea recta en el eje polar que sirve como su eje de simetría. Dado que el bucle externo se extiende hasta el punto ${displaystyle (3a,0)}$ y el bucle interno hasta el punto ${displaystyle (a,0)}$, entonces el caracol triseca el segmento con puntos finales en el polo (donde se cruzan los dos bucles) y el punto ${displaystyle (3a,0)}$, donde la longitud total de ${displaystyle 3a}$ es tres veces la longitud que va desde el polo hasta el otro extremo del bucle interior en el segmento rectilíneo.

Dada la trisectriz caracol ${displaystyle r=1+2cos heta }$, la inversa ${displaystyle r^{-1}}$ es la ecuación polar de una hipérbola con excentricidad igual a 2, una curva que también es una trisectriz (véase hipérbola).

La trisectriz caracol es un caso particular del óvalo cartesiano, cuya ecuación general se obtiene como el lugar geométrico de los puntos S tales que el producto de sus distancias a dos polos fijos (P y Q) es constante

para el caso en el que m = a / d(P,Q), coincidente con el caracol de Pascal.