Rosa polar

En matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia de curvas de ecuación ${displaystyle r( heta )=cos(k heta ),}$ por asemejarse a una flor de pétalos.

Esta familia, también conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fue estudiada por el matemático Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libro Flores Geometrici.^[1]​

Como casos particulares, la rosa de tres pétalos recibe también el nombre de trifolium regular y la de cuatro, el de quadrifolium. Para k=1/2 se obtiene la curva conocida como folium de Durero.

Su expresión general en coordenadas polares es:

Donde a representa la longitud de los pétalos y ${displaystyle phi _{0}}$ solo tiene un efecto de realizar una rotación global sobre la figura. Salvo similitud, todas estas curvas pueden reducirse a la familia:^[2]​

Aquí la forma queda determinada por el valor del parámetro k:

La expresión en coordenadas cartesianas de la rosa de cuatro pétalos es ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}}$ y para la rosa de tres pétalos ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax(x^{2}-3y^{2})}$.

El área de una rosa de ecuación ${displaystyle r=acos(k heta ),}$ con k natural es igual a:^[3]​

si k es par, y

si k es impar.

Las propiedades de las rosas polares están directamente relacionadas con las propiedades de las sinusoides que las especifican.

Todas las rosas muestran una o más formas de simetría debido a las propiedades simétricas y periódicas subyacentes de las sinusoides.

Cuando ${displaystyle k}$ es un número entero distinto de cero, la curva tendrá forma de rosa con ${displaystyle 2k}$ pétalos si ${displaystyle k}$ es par, y ${displaystyle k}$ pétalos cuando ${displaystyle k}$ es impar.^[5]​ Las propiedades de estas rosas son un caso especial de rosas con frecuencias angulares ${displaystyle (k)}$ que son números racionales, comentado más adelante.

Una rosa con ${displaystyle k=1}$ es una circunferencia que pasa por el polo y que tiene un diámetro que se sitúa en el eje polar cuando ${displaystyle r=acos( heta )}$. La circunferencia es el único pétalo de la curva (véase el gráfico adjunto). En coordenadas cartesianas, las expresiones equivalentes para el coseno y el seno son ${displaystyle (x-a/2)^{2}+y^{2}=(a/2)^{2}}$ y ${displaystyle x^{2}+(y-a/2)^{2}=(a/2)^{2}}$ respectivamente.

Una rosa con ${displaystyle k=3}$ se llama trifolio^[7]​ o trébol regular^[8]​ porque tiene 3 pétalos. La curva también se llama en francés Paquerette de Mélibée. En coordenadas cartesianas, las expresiones para las formas con el coseno y con el seno son ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a(x^{3}-3xy^{2})}$ y ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=-a(x^{3}-3xy^{2})}$ respectivamente^[9]​ (véase el gráfico adjunto). Es la curva inversa de la trisectriz de Longchamps

Una rosa con ${displaystyle k=2}$ se llama cuadrifolio porque tiene 4 pétalos. En coordenadas cartesianas, las expresiones relativas al coseno y al seno son ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}}$ y ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4(axy)^{2}}$ respectivamente.

En general, cuando ${displaystyle k}$ es un número racional en forma de fracción irreducible ${displaystyle k=n/d}$, donde ${displaystyle n}$ y ${displaystyle d}$ son números enteros distintos de cero, el número de pétalos es el denominador de la expresión ${displaystyle 1/2-1/(2k)=(n-d)/2n}$.^[10]​ Esto significa que el número de pétalos es ${displaystyle n}$ si tanto ${displaystyle n}$ como ${displaystyle d}$ son impares, y ${displaystyle 2n}$ en caso contrario.^[3]​

Una rosa con ${displaystyle k=1/2}$ se llama folium de Durero, que lleva el nombre del pintor y grabador alemán Alberto Durero. Las rosas especificadas por ${displaystyle r=acos( heta /2)}$ y ${displaystyle r=asin( heta /2)}$ son coincidentes aunque ${displaystyle acos( heta /2) eq asin( heta /2)}$. En coordenadas cartesianas, la rosa se expresa como^[11]​ ${displaystyle (x^{2}+y^{2})[2(x^{2}+y^{2})-a^{2}]^{2}=a^{4}x^{2}}$.

El foliun de Durero también es una trisectriz, una curva que se puede utilizar para trisecar ángulos.

Una rosa con ${displaystyle k=1/3}$ es una trisectriz caracol que tiene la propiedad de ser una curva trisectriz que se pueden usar para trisecar ángulos. La rosa tiene un solo pétalo con dos bucles.

Una rosa polar especificada con un número irracional ${displaystyle k}$ tiene un número infinito de pétalos^[5]​ y nunca llega a repetirse. Por ejemplo, la sinusoide ${displaystyle r=acos(pi heta )}$ tiene un período de ${displaystyle T=2}$, por lo que posee un pétalo en el intervalo de ángulo polar ${displaystyle -1/2leq heta leq 1/2}$ con una cresta en el eje polar; sin embargo, no hay otro ángulo polar en el dominio de la ecuación polar que pase por las coordenadas ${displaystyle (a,0)}$. En general, las rosas especificadas por sinusoides con frecuencias angulares que son constantes irracionales forman un conjunto denso (es decir, se acercan arbitrariamente a especificar cada punto del disco ${displaystyle rleq a}$).