Variedad casi compleja

En matemáticas, una variedad casi compleja es una variedad diferenciable M equipada en cada espacio tangente ${displaystyle T_{p}M}$ con una estructura compleja ${displaystyle J_{p}}$ que varía de forma diferenciable de punto a punto. Esta estructura compleja convierte a cada espacio tangente en un espacio vectorial complejo.

La existencia de esta estructura es una condición necesaria, pero no suficiente, para que la variedad sea una variedad compleja. Así, toda variedad compleja es una variedad casi compleja, pero no viceversa.

Las variedades casi complejas tienen importantes aplicaciones en geometría simpléctica.

Sea M una variedad diferenciable. Una estructura casi compleja ${displaystyle J}$ sobre M es un campo de tensores diferenciable de rango (1,1) que verifica que el endomorfimo ${displaystyle J_{p}:T_{p}Mlongrightarrow {}T_{p}M}$ que induce en cada espacio tangente es una estructura compleja (esto, es, que se cumple que ${displaystyle J_{p}^{2}=-1}$, donde 1 es la aplicación identidad sobre ${displaystyle T_{p}M}$).

Al par ${displaystyle (M,J)}$ formado por una variedad equipada con una estructura casi compleja fija se le denomina una variedad casi compleja.

Se demuestra que toda variedad casi compleja debe ser de dimensión par y orientable.