Variedad compleja

En geometría diferencial, una variedad compleja M es una variedad topológica que tiene la estructura que nos permite definir la noción de función holomorfa ${displaystyle f:M o mathbb {C} }$.^[1]​

Ello se podrá conseguir por dos caminos:

Toda variedad compleja de dimensión compleja n será, en particular, también una variedad diferenciable de dimensión real 2n, orientable,^[2]​ y dotada de una orientación natural.^[3]​

Puesto que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones diferenciables, la teoría de variedades complejas presenta importantes diferencias con la de variedades diferenciables.

En toda carta de una variedad diferenciable de dimensión real 2n, con coordenadas reales ${displaystyle {x^{1},ldots ,x^{n},y^{1},ldots ,y^{n}}}$ podemos formar combinaciones de variables complejas ${displaystyle {z^{1}=x^{1}+iy^{1},ldots ,z^{n}=x^{n}+iy^{n}}}$. Pero con esto no bastará para disponer de una carta que forme parte de nuestro atlas complejo. Para retener esta carta en nuestro atlas será necesario verificar si el cambio con el resto de cartas ${displaystyle Phi _{j}circ Phi _{i}^{-1}}$ es holomorfo.

Recordando la teoría de variable compleja, esto puede verificar de varias formas:

${displaystyle {frac {partial u}{partial {x^{k}}}}={frac {partial v}{partial {y^{k}}}}qquad {frac {partial v}{partial {y^{k}}}}=-{frac {partial v}{partial {x^{k}}}}}$

Una estructura casi compleja sobre una variedad diferenciable de dimensión real 2n define, punto a punto, un endomorfismo J²=-Id que imita el efecto de la multiplicación por la unidad imaginaria i, que no está definida a priori en una variedad real.

No toda variedad estructura casi compleja convierte a la variedad en variedad compleja. Para que esto suceda debe darse una condición de integrabilidad.

De hecho, la esfera S⁶ admite una estructura casi compleja que no es integrable. Se sabe que S² y S⁶ son las únicas esferas que admiten una estructura casi compleja. Todavía se desconoce si S⁶ admite una estructura de variedad compleja (que en todo caso, no será compatible con la estructura casi compleja citada).

La condición de integrabilidad viene dada por la anulación del tensor de Nijenhuis N(X,Y), definido como:^[4]​

Donde X e Y son campos diferenciables cualesquiera y [.,.] denota el corchete de Lie de los campos involucrados.

En el caso de dimensión real 2, toda estructura casi compleja es integrable. Además, se demuestra que una métrica de Riemann define en dimensión real 2 una estructura casi compleja de modo natural.

Una conexión ${displaystyle abla }$ se dice casi compleja si ${displaystyle abla J=0}$.

Una métrica se dice hermítica si verifica la siguiente condición de compatibilidad con la estructura casi compleja:

La compatibilidad con la métrica no implica que la conexión inducida por la métrica sea también compatible con la estructura casi compleja. Esta compatibilidad sólo se produce cuando se reúnen dos condiciones:

A las variedades donde se dan estas dos condiciones se les denomina variedades de Kähler.

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