Vector de onda

El vector de onda es un vector que apunta en la dirección de propagación de la onda en cuestión y cuya magnitud es el número de onda. Su expresión en matemática es:

${displaystyle mathbf {k} =kmathbf {u} ={frac {2pi }{lambda }}mathbf {u} }$

donde ${displaystyle {vec {u}}}$ es la dirección de la propagación de la onda. De este modo, para una onda genérica tenemos que:

${displaystyle Phi (mathbf {r} ,t)=Phi (mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)=Phi (k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-omega t)}$

El formalismo mediante el vector de onda permite ver rápidamente que las ondas electromagnéticas planas son trasversales, es decir, la oscilación del campo eléctrico y magnético es perpedincular a la dirección de propagación de la onda y perpendiculares entre sí.

Para demostrar esto consideremos, sin pérdida de generalidad, una onda electromagnética plana de la forma:

${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} ,t)=mathbf {E_{0}} e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)},qquad mathbf {B} (mathbf {r} ,t)=mathbf {B_{0}} e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)}}$

Suponiendo una región del espacio sin densidad de carga ${displaystyle scriptstyle ho =0}$, la ley de Gauss para la divergencia del campo eléctrico nos lleva a que:

${displaystyle {oldsymbol { abla }}cdot mathbf {E} =imathbf {k} cdot mathbf {E_{0}} ={frac { ho }{epsilon _{0}}}=0}$

De donde obtenemos la perpendicularidad entre el campo eléctrico y la dirección de propagación:

(*)${displaystyle mathbf {hat {u}} cdot mathbf {E_{0}} =0Rightarrow mathbf {hat {u}} cdot mathbf {E} =0qquad Rightarrow qquad mathbf {E} ot mathbf {hat {u}} }$

Usando ahora la ley de Faraday para el rotacional del campo eléctrico tenemos:

(**)${displaystyle {oldsymbol { abla }} imes mathbf {E} =imathbf {k} imes mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}=iomega mathbf {B} }$

De (**), por las propiedades del producto vectorial, se deduce:

${displaystyle mathbf {hat {u}} ot mathbf {B} }$

Por tanto de las expresiones (*) y (**) puede concluirse que el campo eléctrico es perpendicular al vector de onda, y por tanto a la dirección de propagación, y que el campo magnético es perpendicular tanto a la dirección de propagación como al campo eléctrico, formando los vectores ${displaystyle scriptstyle {mathbf {k} ,mathbf {E} ,mathbf {B} }}$ forman un triedro que en cada punto del espacio constituye una base vectorial.