Producto vectorial

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Sean dos vectores ${displaystyle mathbf {a} }$ y ${displaystyle mathbf {b} }$ en el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. El producto vectorial entre ${displaystyle mathbf {a} ,}$ y ${displaystyle mathbf {b} ,}$ da como resultado un nuevo vector, ${displaystyle mathbf {c} ,}$. El producto vectorial ${displaystyle mathbf {a} }$ y ${displaystyle mathbf {b} }$ se denota mediante ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:^[1]​

${displaystyle mathbf {a} wedge mathbf {b} ,qquad mathbf {a} imes mathbf {b} }$

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${displaystyle {mathbf {a} imes mathbf {b} =(||mathbf {a} ||||mathbf {b} ||sin { heta }) {hat {mathbf {n} }}}}$

donde ${displaystyle {hat {mathbf {n} }}}$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Se denomina producto vectorial del vector a por el vector b ^[2]​ al vector denotado por ${displaystyle a imes b}$ y definido por las tres exigencias siguientes:

Sean los vectores concurrentes de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de ${displaystyle mathbf {u} imes mathbf {v} }$ es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

El producto vectorial de los vectores ${displaystyle mathbf {a} =(2,0,1)}$ y ${displaystyle mathbf {b} =(1,-1,3)}$ se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente que ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$ es ortogonal a los vectores ${displaystyle mathbf {a} }$ y ${displaystyle mathbf {b} }$ efectuando el producto escalar y verificando que este es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

Cualquiera que sean los vectores ${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$ y ${displaystyle mathbf {c} }$:

Sea un sistema de referencia ${displaystyle S={O;mathbf {i} ,mathbf {j} ,mathbf {k} }}$ en el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Se dice que ${displaystyle S,}$ es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones:

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra magnitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} =*(phi _{mathbf {a} }wedge phi _{mathbf {b} })}$

Donde ${displaystyle phi _{mathbf {a} },phi _{mathbf {b} }}$ denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores, y ${displaystyle *,}$ denota el operador estrella de Hodge.

Sean ${displaystyle {vec {u}}}$, ${displaystyle {vec {v}}}$ y ${displaystyle {vec {w}}}$ tres vectores, que no se encuentran en el mismo plano y que forman tres lados de un paralelepípedo. Como sabemos, el volumen de cualquier objeto tridimensional se define por el área de la base y su altura.

Como anteriormente vimos en este artículo, el área de un paralelogramo (la base del paralelepípedo) se define por el producto escalar de dos vectores ${displaystyle lVert {vec {u}} imes {vec {v}} Vert }$ en donde ${displaystyle {vec {u}} imes {vec {v}}}$ es un vector perpendicular a este,

por lo tanto, es necesario obtener la proyección de ${displaystyle {vec {w}}}$ en la dirección ${displaystyle {vec {u}} imes {vec {v}}}$; entonces, dado que la proyección de un vector está dada por ${displaystyle {frac {{vec {u}}cdot {vec {v}}}{lVert {vec {v}} Vert }}}$ podemos decir que la altura está dada por:

${displaystyle h=leftvert {frac {{vec {w}}cdot ({vec {v}} imes {vec {u}})}{lVert {vec {u}} imes {vec {v}} Vert }} ightvert }$

Entonces el volumen se define como:

${displaystyle v=lVert {vec {u}} imes {vec {v}} Vert leftvert {frac {{vec {w}}cdot ({vec {v}} imes {vec {u}})}{lVert {vec {u}} imes {vec {v}} Vert }} ightvert }$${displaystyle =|{vec {w}}cdot ({vec {u}} imes {vec {v}})|}$

El volumen de un paralelepípedo está definido como un triple producto escalar.

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, este puede generalizarse a n dimensiones, con n ≠ 0, 1, y solo tendrá sentido si se usan n-1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado solo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

${displaystyle V^{a}=varepsilon ^{a_{1}dots a_{n-1}}V_{1}^{a_{1}}dots V_{n-1}^{a_{n-1}}.}$

Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos:

El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de tres vectores.

En el espacio afín bidimensional, ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, el producto vectorial es una operación interna.