Aplicación exponencial (teoría de Lie)

En la teoría de grupos de Lie, la aplicación exponencial es una correspondencia establecida por un álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ desde un grupo de Lie ${displaystyle G}$ sobre sí mismo, que permite reproducir la estructura del álgebra de Lie en el grupo local. La existencia de la aplicación exponencial es una de las razones principales por las que las álgebras de Lie son una herramienta útil para estudiar los grupos de Lie.

La función exponencial ordinaria del análisis matemático es un caso especial de la aplicación exponencial cuando ${displaystyle G}$ es el grupo multiplicativo de los números positivos (cuyo álgebra de Lie es el grupo aditivo de todos los números reales). La aplicación exponencial sobre un grupo de Lie satisface muchas propiedades análogas a las de la función exponencial ordinaria, aunque también difiere en muchos aspectos importantes.

Sea ${displaystyle G}$ un grupo de Lie y ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ sea su álgebra de Lie (definida como el espacio tangente al elemento neutro de ${displaystyle G}$). La aplicación exponencial es una correspondencia

que se puede definir de varias maneras diferentes. La definición moderna típica es esta:

De la regla de la cadena se desprende fácilmente que ${displaystyle exp(tX)=gamma (t)}$. La función ${displaystyle gamma }$ puede construirse como la curva integral del campo vectorial invariante por la derecha o por la izquierda asociado con ${displaystyle X}$. De que la curva integral existe para todos los parámetros reales se sigue la traslación de la solución a la derecha o la izquierda en el entorno de cero.

Existe una definición más concreta en el caso de un grupo de Lie. La aplicación exponencial coincide con la exponencial de una matriz y viene dada por la expansión de la serie ordinaria:

donde ${displaystyle I}$ es la matriz identidad. Por lo tanto, en la configuración matricial de los grupos de Lie, la aplicación exponencial es la restricción de la exponencial de matrices al álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ sobre ${displaystyle G}$.

Si G es compacto, tiene una métrica Riemanniana invariante a la izquierda y traslaciones a la derecha, y la aplicación exponencial teórica de Lie sobre G coincide con la aplicación exponencial de esta métrica riemanniana.

Para un grupo G en general, no existirá un invariante métrico riemanniano para ambas traslaciones, a la izquierda y a la derecha. Aunque siempre existe una métrica riemanniana invariante en (considérese el caso de las traslaciones a la izquierda), la aplicación exponencial en el sentido de la geometría riemanniana para una métrica invariante a la izquierda, no estará en general de acuerdo con la aplicación exponencial en el sentido del grupo de Lie. Es decir, si G es un grupo de Lie equipado con una métrica invariante a la izquierda pero no a la derecha, las geodésicas a través de la identidad no serán subgrupos de un solo parámetro de G^{[cita requerida]}.

Otras definiciones equivalentes de la exponencial sobre un grupo de Lie son las siguientes:

Para todos los ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$, el aplicación ${displaystyle gamma (t)=exp(tX)}$ es el grupo uniparamétrico único de ${displaystyle G}$ cuyo vector tangente en la identidad es ${displaystyle X}$. Resulta que:

Más generalmente:

Es importante enfatizar que la identidad precedente no se mantiene en general; la suposición de que ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ conmutan es importante.

La imagen de la aplicación exponencial siempre se encuentra en el componente identidad de ${displaystyle G}$.

La aplicación exponencial ${displaystyle exp colon {mathfrak {g}} o G}$ es una función continuamente diferenciable. Su derivada en cero, ${displaystyle exp _{*}colon {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$, es la aplicación identidad (con las identificaciones habituales).

Se deduce del teorema de la función inversa que la aplicación exponencial, por lo tanto, se restringe a un difeomorfismo desde algún vecindario de 0 en ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a un vecindario de 1 en ${displaystyle G}$.^[1]​

Entonces, no es difícil demostrar que si G es conexo, cada elemento g de G es un producto de exponenciales de elementos de ${displaystyle {mathfrak {g}}}$: ^[2]​

A nivel general, la aplicación exponencial no es necesariamente suprayectiva. Además, puede no ser un difeomorfismo local en todos los puntos. Por ejemplo, la aplicación exponencial de ${displaystyle {mathfrak {s}}o}$(3) sobre SO(3) no es un difeomorfismo local (véase también lugar de corte sobre este problema, y derivada de la aplicación exponencial para más información).

La aplicación exponencial es sobreyectiva en los siguientes casos:

Para los grupos que no cumplan con ninguna de las condiciones anteriores, la aplicación exponencial puede o no ser sobreyectiva.

La imagen de la aplicación exponencial del grupo conexo pero no compacto SL₂(R) no es el grupo completo. Su imagen consiste en C-matrices diagonalizables con valores propios positivos o con módulo 1, y matrices no diagonalizables con un valor propio 1 repetido, además de la matriz ${displaystyle -I}$. Por lo tanto, la imagen excluye matrices con valores propios reales y negativos, distintas de ${displaystyle -I}$.^[5]​

Sea ${displaystyle phi colon G o H}$ un homomorfismo del grupo de Lie y sea ${displaystyle phi _{*}}$ su derivada en la identidad. Entonces el siguiente diagrama conmuta:^[6]​

En particular, cuando se aplica a la acción adjunta de un grupo de Lie ${displaystyle G}$, desde ${displaystyle operatorname {Ad} _{*}=operatorname {ad} }$, se tiene la útil identidad^[7]​

Dado un grupo de Lie ${displaystyle G}$ con álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, cada elección de una base ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ de ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ determina un sistema de coordenadas cerca del elemento identidad e para G. Por el teorema de la función inversa, la aplicación exponencial ${displaystyle operatorname {exp} :N{overset {sim }{ o }}U}$ es un difeomorfismo de algún ${displaystyle Nsubset {mathfrak {g}}simeq mathbb {R} ^{n}}$ vecino del origen sobre ${displaystyle U}$ vecino de ${displaystyle ein G}$. Su inverso:

es entonces un sistema de coordenadas en U. Es denominado por varios nombres, como coordenadas logarítmicas, coordenadas exponenciales o coordenadas normales. En el teorema del subgrupo cerrado figuran ejemplos de cómo se usan en distintas aplicaciones.

Observación: El recubrimiento abierto ${displaystyle {Ug|gin G}}$ proporciona la estructura de una variedad real-analítica a G, de tal manera que la operación de grupo ${displaystyle (g,h)mapsto gh^{-1}}$ es real-analítica.^[8]​

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