Axiomas de Hilbert

Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 (originalmente 21) hipótesis propuestas por David Hilbert en 1899 como el fundamento para un tratamiento moderno de la geometría euclídea. Otras axiomatizaciones modernas bien conocidas de la geometría euclídea son las debidas a Alfred Tarski y a George Birkhoff.

El sistema axiomático de Hilbert se compone de nueve nociones primitivas: Tres términos primitivos:

y seis relaciones primitivas:

Nótese que los segmentos y los ángulos (así como también los triángulos) no son nociones primitivas, sino que se definen en términos de puntos y rectas utilizando las relaciones de orden y pertenencia. Todos los puntos, rectas y planos en los subsecuentes axiomas son distintos salvo que se indique lo contrario.

Dada una pareja de puntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$, puede hablarse entonces del segmento ${displaystyle AB}$. Los puntos del segmento ${displaystyle AB}$ son todos aquellos que están entre ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$. Estos dos son los extremos del segmento.

Puede probarse entonces que dadas una recta ${displaystyle a}$ y un punto ${displaystyle A}$ en ella, puede dividirse la recta en dos ${displaystyle semirayos}$, disjuntos entre sí, que emanan de ${displaystyle A}$, tales que su unión constituye toda la recta a excepción de ${displaystyle A}$. De igual modo, dados un plano ${displaystyle alpha }$ y una recta ${displaystyle a}$ en el, pueden distinguirse en él dos partes disjuntas, los lados de ${displaystyle alpha }$ respecto a ${displaystyle a}$, donde de nuevo su unión constituye todo el plano a excepción de ${displaystyle a}$.

Se define un ángulo como una pareja de semirrectas ${displaystyle scriptstyle angle (h,k)}$ yaciendo en un plano ${displaystyle alpha }$ que emanan del mismo punto ${displaystyle O}$. Se demuestra que puede dividirse entonces el plano en dos regiones: el interior y el exterior de ${displaystyle scriptstyle angle (h,k)}$, donde ${displaystyle h}$ y ${displaystyle k}$ son los lados del ángulo y ${displaystyle O}$ su vértice. El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior está contenido por completo en dicha región. Esto no se cumple para una pareja de puntos cualesquiera en el exterior.

Un triángulo queda definido por tres segmentos de la forma ${displaystyle AB}$, ${displaystyle BC}$ y ${displaystyle CA}$. Dichos segmentos son los lados del triángulo, y los tres puntos ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$ son su vértices. El triángulo divide el plano definido por sus tres vértices en interior y exterior, con las mismas propiedades que en caso de los ángulos. Al ángulo definido por las dos semirrectas que salen de ${displaystyle A}$ y que pasan por ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$ respectivamente se le denota por ${displaystyle scriptstyle angle BAC}$, y su interior contiene todos los puntos del interior del triángulo ${displaystyle ABC}$.

Al sistema de puntos, rectas y planos, no pueden añadirse otros elementos de manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los axiomas de los cinco grupos. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas como válidos.

Hilbert introdujo un axioma más que reza:

^[1]​Esta proposición calificada como teorema fue considerada como axioma en la primera edición, pero E.H Moore en^[2]​ Transactions of the American Mathematical Society, 1902, la dedujo como consecuencia de los axiomas de combinación y orden establecidos. R. L. Moore demostró que este axioma es redundante en 1902.