Complemento de Schur

En álgebra lineal y teoría de matrices, el complemento de Schur de un bloque de matriz (es decir, de una submatriz dentro de una matriz más grande) se define de la manera siguiente:

Supóngase que A, B, C y D son respectivamente matrices de orden p×p, p×q, q×p y q×q, y que D es invertible. Sea

de modo que M es una matriz de orden (p+q)×(p+q).

Entonces, se define el complemento de Schur del bloque D de la matriz M como la matriz de orden p×p

y el complemento de Schur del bloque A de la matriz M se define como la matriz de orden q×q

En el caso de que A o D sean matrices singulares, las inversas M/A y M/D pueden ser reemplazadas por un inverso generalizado, produciendo lo que se llama un complemento de Schur generalizado.

El complemento de Schur lleva el nombre de Issai Schur, que lo utilizó para probar el Lema de Schur, aunque ya se había utilizado anteriormente.^[1]​ Emilie Haynsworth fue la primera en llamarlo "complemento de Schur".^[2]​ El complemento de Schur es una herramienta clave en los campos de análisis numérico, estadística y análisis de matrices.

El complemento de Schur surge como resultado de realizar un bloque de eliminación Gaussiana al multiplicar la matriz M desde la derecha por la matriz "triangular inferior"

Aquí I_p denota una matriz identidad de orden p×p. Después de la multiplicación por la matriz L aparece el complemento de Schur en el bloque superior de orden p×p. La matriz del producto es

Esto es análogo a una factorización LU. Es decir, se ha demostrado que

y el inverso de M se puede expresar como D⁻¹ y el inverso del complemento de Schur (si existe) solo como

Un lema sobre la inversión de matrices ilustra las relaciones entre lo anterior y la deducción equivalente con las posiciones de A y D intercambiadas.

El complemento de Schur surge naturalmente al resolver un sistema de ecuaciones lineales como

donde x, a son vectores columna p dimensionales; y, b son vectores columna q dimensionales; y A, B, C, D son como los anteriores. Multiplicando la ecuación inferior por ${displaystyle BD^{-1}}$ y luego restando de la ecuación superior, se obtiene

Por lo tanto, si es posible invertir D y el complemento de Schur de D, se puede resolver x; y al usar la ecuación ${displaystyle Cx+Dy=b}$ puede resolverse y. Esto reduce el problema de invertir una matriz ${displaystyle (p+q) imes (p+q)}$ a la de invertir una matriz de p×p y una matriz q×q. En la práctica, se necesita que D esté bien condicionada para que este algoritmo sea numéricamente preciso.

En ingeniería eléctrica esto se conoce como eliminación de nudos o reducción de Kron.

Supóngase que los vectores columna aleatorios X, Y están definidos en Rⁿ y R^m respectivamente, y el vector ( X,Y ) en R^n+m define una distribución normal multivariante cuya covarianza es la matriz simétrica positiva definida

donde ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes n}}$ es la matriz de covarianza de X, ${displaystyle Cin mathbb {R} ^{m imes m}}$ es la matriz de covarianza de Y y ${displaystyle Bin mathbb {R} ^{n imes m}}$ es la matriz de covarianza entre X e Y.

Entonces, la covarianza condicional de X dado Y es el complemento de Schur de C en ${displaystyle Sigma }$:

Si se considera que la matriz ${displaystyle Sigma }$ anterior es, no una covarianza de un vector aleatorio, sino una covarianza de "muestra", entonces puede tener una distribución de Wishart. En ese caso, el complemento de Schur de C en ${displaystyle Sigma }$ también tiene una distribución de Wishart.

Sea X una matriz simétrica dada por

sea X/A el complemento de Schur de A en X, es decir

y sea X/C el complemento de Schur de C en X, es decir

Entonces

Los enunciados primero y tercero se pueden derivar de^[3]​ considerando el minimizador de la cantidad

como una función de v (para u fijo).

Además, desde

y de manera similar para las matrices semi-definidas positivas, la segunda declaración (y respectivamente la cuarta) es inmediata a partir de la primera declaración (o en su caso, de la tercera).

También hay una condición suficiente y necesaria para la semidefinición positiva de X en términos de un complemento de Schur generalizado.^[1]​ Precisamente,

donde ${displaystyle A^{g}}$ denota el inverso generalizado de ${displaystyle A}$.

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