Conjunto clopen

En topología, un conjunto clopen —del inglés closed-open set, literalmente 'conjunto cerrado-abierto' o 'conjunto cebierto'—, en un espacio topológico es un conjunto que es a la vez abierto y cerrado.

En cualquier espacio topológico X, el conjunto vacío y todo el espacio X son ambos clopen.

Ahora considere el espacio X que consiste en la unión de los dos intervalos (0, 1) y (2, 3). La topología en X se hereda como la topología del subespacio de la topología ordinaria en la recta real R. En X, el conjunto (0, 1) es clopen, al igual que el conjunto (2, 3). Esto es un ejemplo absolutamente típico: siempre que un espacio se componga de un número finito de componentes conexos disjuntos de esta manera, los componentes serán clopen.

Como ejemplo menos trivial, considérese el espacio Q de todos los números racionales con su topología usual, y el conjunto A de todos los números racionales más grandes que la raíz cuadrada de 2. Usar el hecho de que √2 no está en Q, se puede demostrar fácilmente que A es un subconjunto clopen de Q. (nótese también que A no es un subconjunto clopen de la recta real R; no es ni abierto ni cerrado en R.)

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