Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.

Se dice que una sucesión ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots }$ de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge débilmente, a una variable aleatoria ${displaystyle X}$ si

para todo punto ${displaystyle xin mathbb {R} }$ en el que ${displaystyle F}$ es continua, donde ${displaystyle F_{n}}$ y ${displaystyle F}$ denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias ${displaystyle X_{n}}$ y ${displaystyle X}$, respectivamente.

Una sucesión ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots }$ de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria ${displaystyle X}$ si para todo ${displaystyle epsilon >0}$

Una sucesión ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots }$ de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria ${displaystyle X}$ si

Dado un número real ${displaystyle rgeq 1}$, se dice que la sucesión ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots }$ de variables aleatorias reales converge en ${displaystyle L^{r}}$ a la variable aleatoria ${displaystyle X}$, si los momentos absolutos ${displaystyle r}$-ésimos ${displaystyle { ext{E}}(|X_{n}|^{r})}$ y ${displaystyle { ext{E}}(|X|^{r})}$ de ${displaystyle X_{n}}$ y de ${displaystyle X}$ existen, y

donde el operador ${displaystyle E}$ denota la esperanza matemática.

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