Ecuación cuadrática

Una ecuación de segundo grado^[1]​^[2]​ o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general:

Ecuación de segundo grado

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0;,quad a eq 0}$

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje X las raíces son números complejos, corresponden a un discriminante negativo y positivo.

Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método solo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.^{[cita requerida]} Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación ${displaystyle x^{2}-2=0}$ en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros.^[3]​

En el Renacimiento al resolver ${displaystyle x^{2}+1=0}$ que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la construcción de números imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i, definida mediante la igualdad ${displaystyle i^{2}=-1}$.^[4]​^[5]​

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Se usa ± para indicar las dos soluciones:

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0 Leftrightarrow x^{2}+{frac {b}{a}}x+{frac {c}{a}}=0}$

Para simplificar la demostración, se asume que ${displaystyle m={frac {b}{a}}}$ y ${displaystyle n={frac {c}{a}}}$:

Desde la ecuación

Pasando el término ${displaystyle n}$ a la derecha:

Sumando ${displaystyle {frac {m^{2}}{4}}}$ a ambos lados de la ecuación para completar cuadrados:

Simplificamos el primer miembro a un binomio cuadrado

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Aislando ${displaystyle x,}$ y simplificando la fracción de la raíz

Simplificando a común denominador

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:

Moviendo ${displaystyle {frac {b}{2a}}}$ y aplicando la raíz al denominador:

Simplificando a común denominador:

El discriminante es ${displaystyle Delta =b^{2}-4ac}$ y sirve para analizar la naturaleza de las raíces que pueden ser reales o complejas.^[6]​

■ ${displaystyle Delta >0}$: dos raíces reales distintas. la parábola corta el eje de las abscisas en dos puntos diferentes.

■ ${displaystyle Delta =0}$: una raíz real, pero de multiplicidad dos o doble. La parábola solo toca en un único punto al eje de las abscisas.

■ ${displaystyle Delta <0}$: dos raíces complejas conjugadas. La parábola no corta al eje de las abscisas.

Cuando el término principal o cuadrático no tiene el coeficiente expreso, se sobreentiende que es 1, la ecuación se escribe: ${displaystyle x^{2}+px+q=0}$,^[7]​ cuyas raíces son:

${displaystyle x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}}}$

La ecuación cuadrática también se puede resolver con un cambio de variable. Consideremos la ecuación de segundo grado ${displaystyle x^{2}+bx+c=0}$. Haciendo el cambio de variable ${displaystyle x=z+d}$, se puede buscar ${displaystyle d}$ para hacer que el coeficiente de ${displaystyle z}$ en la cuadrática que resulte sea cero y que la ecuación se simplifique a una de la forma ${displaystyle z^{2}=K}$. (En la práctica, si es fácil de ver, este método se simplifica apelando a las fórmulas de Vieta: el coeficiente de la ${displaystyle x}$ es la suma de las raíces cambiada de signo y ${displaystyle c}$ es su multiplicación).

Ejemplo: Resolver la ecuación ${displaystyle x^{2}-10x+16=0}$

Solución: Como las raíces, digamos ${displaystyle x_{1},x_{2}}$ suman 10, si a cada una le resto 5 podremos lograr transformar la ecuación original en una que no tenga término en "x". Ello sugiere el cambio de variable ${displaystyle z=x-5}$ que hace ${displaystyle x=z+5}$. Este cambio de variable resulta en la ecuación simplificada ${displaystyle z^{2}=9}$ de solución 3 y su opuesto. Dado que ${displaystyle x=z+5}$ encontramos las soluciones ${displaystyle x_{1},x_{2}}$ restando y sumando, respectivamente, 3 al 5: ${displaystyle x_{1}=2}$, ${displaystyle x_{2}=8}$.

Son de la forma:

${displaystyle ax^{2}+bx=0quad longrightarrow quad x,(ax+b)=0}$

cuyas raíces son:

${displaystyle x=0quad {acute {o}}quad ax+b=0}$

esto es:

${displaystyle x_{1}=0;;quad x_{2}={cfrac {-b}{a}}}$

Son de la forma ${displaystyle ax^{2}+c=0}$, cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.

Si ${displaystyle {frac {-c}{a}}>0}$ las raíces son reales: ${displaystyle x_{1}={sqrt {frac {-c}{a}}}}$ o ${displaystyle x_{2}=-{sqrt {frac {-c}{a}}}}$

Si ${displaystyle {frac {-c}{a}}<0}$ las raíces son imaginarias puras: ${displaystyle x_{1}=i{sqrt {frac {c}{a}}}}$ o ${displaystyle x_{2}=-i{sqrt {frac {c}{a}}}}$

En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par 2m y la ecuación es

${displaystyle ax^{2}+2mx+n=0}$

, siendo las raíces

${displaystyle x_{1,2}={frac {-mpm {sqrt {m^{2}-an}}}{a}}}$

En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma

${displaystyle x^{2}+2mx+n=0}$

cuyas raíces son

${displaystyle x_{1,2}=-mpm {sqrt {m^{2}-n}}}$

Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencias. Su forma polinómica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${displaystyle {x^{2}}^{}=u}$
Con lo que queda: ${displaystyle {au^{2}}^{}+bu+c=0}$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:^[8]​

${displaystyle alpha x^{4}+eta x^{2}+alpha =0}$

Cuando el primer coeficiente y el término independiente son opuestos^[9]​

${displaystyle alpha x^{4}+eta x^{2}-alpha =0}$

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces ${displaystyle x_{1},x_{2},}$, podemos construir el binomio a partir de estas con:

De lo que se deduce:

Suma de raíces

Producto de raíces

Observación:

${displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={b^{2}-2ac over a^{2}}}$

En el caso de la ecuación ${displaystyle x^{2}+px+q=0}$ se tiene

solo en la solución real, si en la fórmula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que:

${displaystyle a=1,b=-1,c=b}$

entonces la fórmula general dará como resultado el número áureo

${displaystyle {frac {-(-1)+{sqrt {(-1)^{2}-4(1)(-1)}}}{2(1)}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=varphi }$

Es una ecuación de la forma:

${displaystyle ax^{2m}+bx^{m}+c=0}$

donde usualmente:

${displaystyle a,b,cin mathbb {Q} }$

${displaystyle min mathbb {Z} }$, ${displaystyle mgeq 2}$

${displaystyle a eq 0}$

Para resolver se hace la sustitución: de lo siguiente

${displaystyle x^{m}=t}$

con lo que resulta la ecuación original como:

${displaystyle at^{2}+bt+c=0}$

Finalmente de:

${displaystyle x^{m}=t}$

se hallan los valores de "x" mediante:

${displaystyle x=t^{frac {1}{m}}}$

con seguridad, en el campo de los números complejos, hay "2m" raíces.^[11]​

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