Ecuación diferencial lineal

En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales.

La ecuación

${displaystyle phi (x^{(n)},...,x',x,t)=0}$

se llama lineal cuando la función ${displaystyle phi }$ es lineal a las variables ${displaystyle x^{(k)}}$. ^[1]​

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma:

donde el operador diferencial L es un operador lineal, y es la función incógnita o desconocida (una función que podría ser dependiente del tiempo y(t)), y del lado derecho f es una función conocida de la misma naturaleza que y (denominada término de excitación). Para una función dependiente del tiempo se puede escribir la ecuación más detalladamente como:

y también se puede usar la notación con corchetes:

El operador lineal L puede ser de la siguiente forma:^[2]​

o sino:

La condición de linealidad sobre L se da mientras no aparezcan productos de la función desconocida consigo misma, ni con ninguna de sus derivadas. Es conveninente reescribir esta ecuación en donde la forma del operador es:

donde D es el operador diferencial d/dt (es decir, Dy = y' , D²y = y",... ), y a_k son funciones conocidas. Se dice que la ecuación tiene un orden n, si es el índice más alto de la derivada de y.

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Si f = 0 la ecuación se denomina homogénea y sus soluciones se denominan funciones complementarias. Esta solución es muy importante para el caso general, y que cualquier función complementaria puede sumarse a la solución de la ecuación cuando es inhomogénea (f ≠ 0) y resulta en otra solución. Cuando los a_k son números, la ecuación se dice que tiene coeficientes constantes.

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

${displaystyle {egin{cases}y'+p(x)y=q(x)\y(x_{0})=y_{0}end{cases}}}$

Donde ${displaystyle p(x)}$ y ${displaystyle q(x)}$ son funciones continuas en un intervalo abierto ${displaystyle (a,b)subseteq mathbb {R} }$, y el valor inicial es ${displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$.

La solución de esta ecuación viene dada por:

${displaystyle y(x)=e^{-int _{x_{0}}^{x}p(s)ds}left[y_{0}+int _{x_{0}}^{x}q(s)e^{int _{x_{0}}^{s}!p(t)dt}ds ight]}$

Es posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función ${displaystyle w(x)}$ que nos permita transformar:

${displaystyle w(x)y'+w(x)p(x)y}$

en la derivada de un producto.

Para ello necesitamos que ${displaystyle w'(x)=w(x)p(x)}$. En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemos ${displaystyle {w'(x) over w(x)}}$ dentro de la integral y por resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos

${displaystyle w(x):=e^{int !p(x)dx}Rightarrow w'(x)=e^{int !p(x)dx}p(x)}$

Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por ${displaystyle w(x)}$ obtenemos:

${displaystyle e^{int !p(x)dx}y'+e^{int !p(x)dx}p(x)y=e^{int !p(x)dx}q(x)}$

Lo que equivale a escribir:

${displaystyle {({y(x)e^{int !p(x)dx}})'}=q(x)e^{int !p(x)dx}}$

${displaystyle Leftrightarrow {y(x)e^{int !p(x)dx}}=int {!q(x)e^{int !p(x)dx}dx}+C}$ Con ${displaystyle Cin mathbb {R} }$

Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:

${displaystyle y(x)=e^{-int !p(x)dx}left({int {!q(x)e^{int !p(x)dx}dx}+C} ight)}$

Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

${displaystyle y^{(n)}+A_{1}(x)y^{(n-1)}+dots +A_{n}(x)y=R(x)}$

Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.

Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por sí mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas (por ejemplo, sen(y) ). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:

${displaystyle Y_{0}(x):=y(x),quad Y_{k}(x):={frac {d^{k}y}{dx^{k}}}}$

Puesto que:

${displaystyle Y_{k}(x)={frac {dY_{k-1}}{dx}} { ext{con}} kleq n-1,quad Y_{n}(x):=-A_{1}(x)Y_{n-1}(x)-dots -A_{n}(x)Y_{0}(x)+R(x)}$

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como:

${displaystyle {egin{bmatrix}Y_{0}'\Y_{1}'\dots \Y_{n}'end{bmatrix}}={egin{bmatrix}0&1&0&dots &0\0&0&1&dots &0\dots &&&dots \-A_{n}&-A_{n-1}&-A_{n-2}&dots &-A_{1}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}Y_{0}\Y_{1}\dots \Y_{n}end{bmatrix}}}$

La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencial de la matriz del sistema.

Para estudiar otros métodos de encontrar la solución aparte de la exponenciación de matrices consideraremos una ecuación del tipo:

${displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+dots +a_{n}y+b=0}$

Donde ${displaystyle a_{k}(k=0,1,dots ,n)in mathbb {R} }$ son coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio característico de la ecuación como

${displaystyle r^{n}+a_{1}r^{n-1}+dots +a_{n}=0}$

que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces ${displaystyle lambda _{n}}$ del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:

${displaystyle y(x)=y_{1}(x)+dots +y_{n}(x)}$

Al calcular las raíces ${displaystyle lambda _{n}}$ del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:

${displaystyle y(x)=sum _{j=1}^{q}C_{j}x^{j-1}e^{lambda _{0}x}}$

${displaystyle y_{k}(x)=e^{a_{k}x}[cos(b_{k}x)+sin(b_{k}x)]}$

Si las raíces complejas conjugadas están repetidas q veces, la ecuación es del tipo

${displaystyle y_{k}(x)=e^{a_{k}x}left[sum _{j=1}^{q}C_{j}x^{j-1}cos(b_{k}x)+sum _{j=1}^{q}C_{j}x^{j-1}sin(b_{k}x) ight]}$

Una vez resuelto el problema homogéneo podemos atacar el problema completo. Para tener la solución del problema completo debemos sumar una solución particular a la solución homogénea ya obtenida:

${displaystyle y(x)=y_{p}(x)+y_{h}(x)=y_{p}(x)+sum _{k=1}^{n}C_{k}e^{lambda _{k}x}}$

Para hallar ${displaystyle !y_{p}(x)}$ empleamos el método de la conjetura razonable, consistente en analizar el término inhomogéneo de la ecuación y proponer funciones del mismo tipo como solución. Nótese que no es necesario que ${displaystyle !b}$ sea un coeficiente constante.

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