Exponencial de matrices

En matemáticas, la exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas análoga a la función exponencial. Es usada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Sea ${displaystyle X}$ una matriz de números complejos de tamaño ${displaystyle n imes n}$, la exponencial de ${displaystyle X}$, denotada por ${displaystyle e^{X}}$ o ${displaystyle exp(X)}$, es la matriz ${displaystyle n imes n}$ dada por la serie de potencias

donde ${displaystyle X^{0}}$ está definida como la matriz identidad ${displaystyle I}$ de igual tamaño que la matriz ${displaystyle X}$.

La serie de arriba siempre converge por lo que la exponencial de ${displaystyle X}$ está bien definida. Si la matriz ${displaystyle X}$ es una matriz ${displaystyle 1 imes 1}$ entonces la exponencial de ${displaystyle X}$ corresponde con la exponencial ordinaria.

Sean ${displaystyle X}$ e ${displaystyle Y}$ dos matrices complejas de dimensión ${displaystyle n imes n}$, ${displaystyle a}$ y ${displaystyle bin mathbb {C} }$. Denotemos la matriz identidad de tamaño ${displaystyle n imes n}$ por ${displaystyle I}$ y con ${displaystyle 0}$ a la matriz nula. La matriz exponencial satisface las siguientes propiedades:

Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades anteriores:

Utilizando estos resultados, puede demostrarse fácilmente que si ${displaystyle X}$ es simétrica entonces ${displaystyle e^{X}}$ también es simétrica, si ${displaystyle X}$ es antisimétrica entonces ${displaystyle e^{X}}$ es ortogonal, si ${displaystyle X}$ es hermítica entonces ${displaystyle e^{X}}$ también lo es y si ${displaystyle X}$ es antihermítica entonces ${displaystyle e^{X}}$ es unitaria.

Por la fórmula de Jacobi, para cualquier matriz compleja que sea cuadrada se tiene

Utilizando esta identidad, puede demostrarse fácilmente que la exponencial de una matriz siempre es una matriz invertible.

Para cualesquiera ${displaystyle x,yin mathbb {R} }$, sabemos que ${displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$. Esta misma propiedad es válida para matrices que conmutan, si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son matrices que conmutan, esto es, ${displaystyle XY=YX}$ entonces

Sin embargo, para matrices que no conmutan, la igualdad anterior no necesariamente es cierta.

Incluso si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ no conmutan, la exponencial ${displaystyle e^{X+Y}}$ puede calcularse por la fórmula del producto de Lie

Si una matriz ${displaystyle A}$ es diagonal:

entonces su exponencial se obtiene tomando las exponenciales de cada uno de los elementos de la diagonal principal:

Si una matriz ${displaystyle M}$ es diagonalizable entonces:

donde ${displaystyle D;}$ es una matriz diagonal y es una matriz no singular ${displaystyle P;}$ puede elegirse como una matriz unitaria. La exponenciación de matrices diagonalizables puede reducirse al caso de la exponencial de una matriz diagonal:

La exponencial de una matriz que tiene estructura de bloque de Jordan es muy sencilla:

Se dice que una matriz ${displaystyle M;}$ admite forma canónica de Jordan ${displaystyle J;}$ cuando existe otra matriz no singular tal que:

Siendo ${displaystyle J;}$ una matriz triangular formada por bloques de Jordan (es decir, cuya diagonal principal contiene los autovalores de ${displaystyle M;}$ y sólo la diagonal superior a la principal tiene algunos "1"). En ese caso la exponencial

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales lineal con coeficientes constantes de la forma:

donde ${displaystyle mathbf {x} (t)}$ representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

En mecánica cuántica puede definirse la exponencia del operador hamiltoniano que es un operador lineal sobre un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita. La evolución temporal del sistema cuántico cuyo hamitoniano no dependa del tiempo viene dada por:

En general el cálculo de la exponencial de un operador puede resultar compleja si no se conocen los autoestados del hamiltoniano, por lo que la solución anterior a veces resulta tan complicada como la resolución de la ecuación de Schrödinger.

En mecánica cuántica de campos la matriz S puede calcularse también a partir de una exponencial de un operador. Como en general el cálculo directo de la exponencial no es sencillo se usan series perturbativas para calcular la exponencial. Estas series perturbativas son las llamadas series de Feynman cada una calculable a partir de un diagrama de Feynman. Usualmente estas series tienen el problema adicional de series formales, por lo que su suma directa no proporciona un resultado finito, y por esa razón este precedimiento requiere técnicas adicionales de renormalización.