Ecuación especial de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.^[1]​

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}+p(x)y+q(x)y^{2}=f(x)}$.

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea ${displaystyle y_{1}(x),!}$.

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

${displaystyle y(x)=z(x)+y_{1}(x),!}$

y reemplazando, se obtiene:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-p(x)y-q(x)y^{2}+f(x)={frac {dz}{dx}}+{frac {dy_{1}}{dx}}}$

es decir:

${displaystyle -p(x)y-q(x)y^{2}+f(x)={frac {dz}{dx}}-p(x)y_{1}-q(x)y_{1}^{2}+f(x)}$

${displaystyle Rightarrow {frac {dz}{dx}}=p(x)(y_{1}-y)+q(x)(y_{1}^{2}-y^{2})}$

lo que equivale a:

${displaystyle {frac {dz}{dx}}=-p(x)z-q(x)(z^{2}+2zy_{1})}$

${displaystyle Rightarrow {frac {dz}{dx}}=-(p(x)+2q(x)y_{1})z-q(x)z^{2}}$

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace la sustitución:

${displaystyle y(x)=y_{1}(x)+{frac {1}{z(x)}}}$

propuesta por Euler en la década de 1760^[2]​ esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-p(x)y-q(x)y^{2}+f(x)={frac {dy_{1}}{dx}}-{frac {1}{z^{2}}}{frac {dz}{dx}}}$

${displaystyle Rightarrow -p(x)y-q(x)y^{2}+f(x)=-{frac {1}{z^{2}}}{frac {dz}{dx}}-p(x)y_{1}-q(x)y_{1}^{2}+f(x)}$

${displaystyle Rightarrow {frac {1}{z^{2}}}{frac {dz}{dx}}=p(x)(y-y_{1})+q(x)(y^{2}-y_{1}^{2})}$

teniendo en cuenta que ${displaystyle y=y_{1}+{frac {1}{z}}}$

${displaystyle Rightarrow {frac {1}{z^{2}}}{frac {dz}{dx}}={frac {p(x)}{z}}+q(x)({frac {1}{z^{2}}}+{frac {2y_{1}}{z}})}$

${displaystyle Rightarrow {frac {dz}{dx}}-(p(x)+2q(x)y_{1})z=q(x)}$ ∎

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-2xy+y^{2}+x^{2}}$

una solución particular es ${displaystyle y_{1}(x)=x+1}$

luego:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-underbrace {2x} _{p(x)}y+underbrace {1} _{-q(x)}y^{2}+underbrace {x^{2}} _{f(x)}}$

${displaystyle Rightarrow {frac {dz}{dx}}-(underbrace {2x} _{p(x)}+2(underbrace {-1} _{q(x)})(underbrace {x+1} _{y_{1}}))z=underbrace {-1} _{q(x)}}$

${displaystyle Rightarrow {frac {dz}{dx}}-(2x-2x-2)z=-1}$

${displaystyle Rightarrow {frac {dz}{dx}}=-2z-1}$

${displaystyle Rightarrow int {frac {dz}{-2z-1}}=int {dx}}$

${displaystyle Rightarrow -{frac {1}{2}}ln(2z+1)=x+C}$

${displaystyle Rightarrow 2z+1=Ce^{-2x}}$

${displaystyle Rightarrow z={frac {Ce^{-2x}-1}{2}}}$

puesto que ${displaystyle y=y_{1}+{frac {1}{z}}=x+1+{frac {1}{z}}}$

${displaystyle Rightarrow z={frac {1}{y-x-1}}}$

Luego la solución general es:

${displaystyle y=x+1+{frac {2}{Ce^{-2x}-1}}}$

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es en la ecuación diferencial Schwarziana de 3er orden

que aparece en la teoría del mapeo conforme y funciones univalentes. En este caso, las ecuaciones están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (El derivado de Schwarzian ${displaystyle S(w)}$ tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir, ${displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$ siempre que ${displaystyle ad-bc}$ sea no cero.) La función ${displaystyle y=w''/w'}$ satisface la ecuación de Riccati

Por lo anterior ${displaystyle y=-2u'/u}$ donde ${displaystyle u}$ es una solución del ODE lineal

Dado que ${displaystyle w''/w'=-2u'/u}$, la integración da ${displaystyle w'=C/u^{2}}$ por alguna constante ${displaystyle C}$. Por otro lado, cualquier otra solución independiente ${displaystyle U}$ o de la ODE lineal tiene un Wronskiano constante distinto de cero ${displaystyle U'u-Uu'}$ que se puede tomar para ser ${displaystyle C}$ después de escalar.

Entonces

para que la ecuación de Schwarz tenga solución ${displaystyle w=U/u.}$

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