Esperanza condicional

En teoría de la probabilidad, una esperanza condicional de una variable aleatoria (también conocido como valor esperado condicional o media condicional) es el valor esperado de dicha variable respecto a una distribución de probabilidad condicional.

El concepto de esperanza condicional es extremadamente importante en la teoría de la medida de Andréi Kolmogórov -medida teórica definición de la teoría de probabilidades. De hecho, el propio concepto de probabilidad condicional es en realidad definida en términos de esperanza condicional. En el caso de una variable aleatoria se define sobre un espacio de probabilidad discreto las "condiciones" se toman sobre una partición de dicho espacio de probabilidad. Esta definición se puede generalizar a cualquier espacio de probabilidad mediante la teoría de la medida.

Sean X e Y dos variables aleatorias discretas, a continuación, la expectativa condicional de X dado el caso Y = y es una función de y sobre el rango de Y

${displaystyle mathbb {E} (X|Y=y)=sum _{xin {mathcal {X}}}x operatorname {P} (X=x|Y=y)=sum _{xin {mathcal {X}}}x{frac {operatorname {P} (X=x,Y=y)}{operatorname {P} (Y=y)}}}$

donde ${displaystyle {mathcal {X}}}$ es el rango de X. Si ahora X es una variable aleatoria continua , mientras que Y sigue siendo una variable discreta, la expectativa condicional es:

${displaystyle mathbb {E} (X|Y=y)=int _{mathcal {X}}xf_{X|Y}(x|Y=y) { ext{d}}x=int _{mathcal {X}}x{frac {f_{(X,Y)}(x,y)}{f_{Y}(y)}} { ext{d}}x}$

donde ${displaystyle f_{X|Y}(,cdot ,|Y=y)}$ es la densidad condicional de ${displaystyle X}$ dado ${displaystyle Y=y}$. Un problema surge cuando Y es continua. En este caso, la probabilidad P (Y = y) = 0, y la paradoja de Borel-Kolmogorov demuestra la ambigüedad de intentar definir probabilidad condicional a lo largo de estas líneas. Sin embargo, la expresión anterior puede ser reorganizada:

${displaystyle mathbb {E} (X|Y=y)operatorname {P} (Y=y)=sum _{xin {mathcal {X}}}x operatorname {P} (X=x,Y=y),}$

y aunque esto es trivial para valores individuales de y (ya que ambos lados son iguales a cero), se debe mantener para cualquier subconjunto medible B del dominio de Y que:

${displaystyle int _{B}mathbb {E} (X|Y=y)operatorname {P} (Y=y) operatorname {d} y=int _{B}sum _{xin {mathcal {X}}}x operatorname {P} (X=x,Y=y) operatorname {d} y.}$

De hecho, esta es una condición suficiente para definir tanto la expectativa condicional y probabilidad condicional.

Sean:

Como ${displaystyle {mathcal {H}}}$ es una sub ${displaystyle sigma }$-álgebra de ${displaystyle {mathcal {F}}}$, la función ${displaystyle Xcolon Omega o mathbb {R} ^{n}}$ no es, en general, ${displaystyle {mathcal {H}}}$-medible, por lo que no puede asumirse la existencia de integrales de la forma ${ extstyle int _{H}X,dP|_{mathcal {H}}}$, donde ${displaystyle Hin {mathcal {H}}}$ y ${displaystyle P|_{mathcal {H}}}$ es la restricción de ${displaystyle P}$ a ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Sin embargo, los promedios locales ${ extstyle int _{H}X,dP}$ pueden recuperarse en ${displaystyle (Omega ,{mathcal {H}},P|_{mathcal {H}})}$ gracias al concepto de esperanza condicionada. Una esperanza condicionada de X dado ${displaystyle {mathcal {H}}}$, denotada por ${displaystyle operatorname {E} (Xmid {mathcal {H}})}$, es cualquier función ${displaystyle {mathcal {H}}}$-medible ${displaystyle Omega o mathbb {R} ^{n}}$ que satisfaga

para todo ${displaystyle Hin {mathcal {H}}}$.

La existencia de ${displaystyle operatorname {E} (Xmid {mathcal {H}})}$ puede demostrarse observando que ${ extstyle mu ^{X}colon Fmapsto int _{F}X,mathrm {d} P}$ for ${displaystyle Fin {mathcal {F}}}$ es una medida finita en ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}})}$ que es absolutamente continua respecto a ${displaystyle P}$. Sea ${displaystyle h}$ la inyección natural de ${displaystyle {mathcal {H}}}$ a ${displaystyle {mathcal {F}}}$; entonces ${displaystyle mu ^{X}circ h=mu ^{X}|_{mathcal {H}}}$ es la restricción de ${displaystyle mu ^{X}}$ a ${displaystyle {mathcal {H}}}$ y ${displaystyle Pcirc h=P|_{mathcal {H}}}$ es la restricción de ${displaystyle P}$ a ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Además, ${displaystyle mu ^{X}circ h}$ es absolutamente continua respecto a ${displaystyle Pcirc h}$, puesto que la condición

implica

Por tanto, podemos definir la esperanza condicionada de ${displaystyle X}$ respecto a ${displaystyle {mathcal {H}}}$ como la derivada de Radon-Nikodym de la medida ${displaystyle mu ^{X}|_{mathcal {H}}}$ respecto a ${displaystyle P|_{mathcal {H}}}$ en ${displaystyle (Omega ,{mathcal {H}})}$, es decir,

que claramente satisface la definición de esperanza condicionada introducida anteriormente.

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