Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho, una distribución de probabilidades puede comprenderse como una frecuencia teórica, ya que describe cómo se espera que varíen los resultados.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar. Las cuatro principales (de las que nacen todas las demás) son:

a) Si la variable es una variable discreta (valores enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

b) Si la variable es continua, esto significa que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, la distribución que se generará será una distribución continua, también llamada distribución normal o gaussiana.

Además, se puede utilizar la «distribución de Poisson como una aproximación de la distribución binomial» cuando la muestra por estudiar es grande y la probabilidad de éxito es pequeña. De la combinación de los dos tipos de distribuciones anteriores (a y b), surge una conocida como «distribución normal como una aproximación de la distribución binomial y de Poisson».

Dada una variable aleatoria ${displaystyle scriptstyle X}$, su función de distribución, ${displaystyle scriptstyle F_{X}(x)}$, es

${displaystyle F_{X}(x)=mathrm {Prob} (Xleq x)=mu _{P}{omega in Omega |X(omega )leq x}}$

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice ${displaystyle scriptstyle X}$ y se escribe, simplemente, ${displaystyle scriptstyle F(x)}$. Donde en la fórmula anterior:

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

Además, cumple

${displaystyle lim _{x o -infty }F(x)=0,qquad lim _{x o +infty }F(x)=1}$

Para dos números reales cualesquiera ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ tal que ${displaystyle (a<b)}$, los sucesos ${displaystyle (Xleq a)}$ y ${displaystyle (a<Xleq b)}$ son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso ${displaystyle (Xleq b)}$, por lo que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución ${displaystyle F(x)}$ para todos los valores de la variable aleatoria ${displaystyle x}$ conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad solo toma valores positivos en un conjunto de valores de ${displaystyle X}$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde ${displaystyle -infty }$ hasta el valor ${displaystyle x}$.

Definidas sobre un dominio finito

Definidas sobre un dominio infinito

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Distribuciones definidas en un intervalo acotado

Definidas en un intervalo semi-infinito, usualmente [0,∞)

Distribuciones en las que el logaritmo de una variable aleatoria está distribuido conforme a una distribución estándar:

Definidas en la recta real completa

Definidas en un dominio variable

Distribuciones mixtas discreta/continua

Distribuciones multivariable

Distribuciones matriciales

Distribuciones no numéricas

Distribuciones misceláneas