Estabilidad de Lyapunov

En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos.

De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio ${displaystyle X_{o}}$ de la ecuación diferencial homogénea ${displaystyle {dot {X}}=f(X)}$ es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de ${displaystyle X_{o}}$ se mantienen cerca de ${displaystyle X_{o}}$ para todo tiempo posterior.

Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto.

Sea ${displaystyle f:M o TM}$ un campo de vectores en una variedad diferenciable M. Consideremos la ecuación diferencial

${displaystyle pin M}$ tal que ${displaystyle f(p)=0}$ (es decir, un punto de equilibrio de la ecuación). Diremos que ${displaystyle p}$ es:

(1) Sea la ecuación diferencial en ${displaystyle mathbb {R} , {dot {x}}=-x}$. El 0 es un punto de equilibrio de la ecuación. Veamos que es asintóticamente estable.

Si ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} }$ entonces la solución de la ecuación con condición ${displaystyle x(0)=x_{0}}$ es ${displaystyle x(t)=x_{0}e^{-t}}$. Es fácil ver que para todo ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} }$ tendremos que esa solución es decreciente y tiende a 0 cuando ${displaystyle t o +infty }$.

Por lo tanto, dado ${displaystyle epsilon >0}$, tomando ${displaystyle delta =epsilon }$ se cumple: si ${displaystyle |x(0)|<delta }$ entonces ${displaystyle |x(t)|<epsilon }$ para ${displaystyle tgeq 0}$ y ${displaystyle lim _{t ightarrow +infty }|x(t)|=0}$.

(2) Para la ecuación ${displaystyle {dot {x}}=x}$ el 0 también es un punto de equilibrio. Veamos que no es estable.

Si ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} }$ entonces la solución a la ecuación con condición ${displaystyle x(0)=x_{0}}$ es ${displaystyle x(t)=x_{0}e^{t}}$.

Tomando ${displaystyle epsilon =1}$ tenemos que ningún ${displaystyle delta >0}$ sirve para la definición de estabilidad: dado ${displaystyle delta >0}$ la solución ${displaystyle varphi (t)={frac {delta }{2}}e^{t}}$ verifica ${displaystyle |varphi (0)|<delta }$, pero existe ${displaystyle T>0}$ tal que ${displaystyle varphi (T)>1}$.

(3) Sea la ecuación ${displaystyle {dot {X}}=AX}$, donde ${displaystyle A=left({egin{array}{rr}0&1\-1&0end{array}} ight)}$. Veamos que el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable.

Para ello mostremos que si ${displaystyle varphi =(x,y)}$ es solución a la ecuación entonces ${displaystyle x^{2}+y^{2}}$ es constante: ${displaystyle (x^{2}+y^{2})'=2xx'+2yy'=2xy-2yx=0}$. Por lo tanto, toda solución que parte a distancia r del origen se mantendrá a distancia r siempre. Esto implica que el origen es estable pero no asintóticamente.

Para el caso de ecuaciones en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ del tipo ${displaystyle {dot {X}}=AX}$, donde ${displaystyle Ain M_{n}(mathbb {R} )}$, se conoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto de equilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios.

Si ${displaystyle A}$ tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. Si la matriz tiene algún valor propio con parte real positiva entonces el origen no es estable.

Para el caso en que ${displaystyle A}$ tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origen no es asintóticamente estable. Para ver si es estable debemos estudiar las multiplicidades geométricas de dichos valores propios. Cuando la matriz tiene valores propios con parte real menor o igual a cero tendremos que: el origen es estable si y solo para todo valor propio ${displaystyle lambda }$ con parte real 0 se tiene que la multiplicidad algebraica de ${displaystyle lambda }$ es igual a la geométrica.

Sea ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ una función diferenciable. El teorema de Hartman-Grobman indica que para estudiar la estabilidad de un punto de equilibrio de la ecuación ${displaystyle {dot {X}}=f(X)}$ puede utilizarse su aproximación lineal en algunos casos. Más en concreto: sea ${displaystyle pin mathbb {R} ^{n}}$ tal que ${displaystyle f(p)=0}$ y su matriz jacobiana ${displaystyle J=J_{f}(p)}$ no tiene valores propios con parte real nula, entonces ${displaystyle p}$ es (asintóticamente) estable si y solo si el origen es (asintóticamente) estable para la ecuación ${displaystyle {dot {X}}=JX}$.

Sea ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ una función de clase ${displaystyle C^{1}}$. Consideremos la ecuación ${displaystyle {dot {X}}=f(X)}$. Supongamos ${displaystyle pin mathbb {R} ^{n}}$ verifica ${displaystyle f(p)=0}$.

Sea ${displaystyle U}$ un entorno de p, ${displaystyle V:Usubseteq mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ derivable tal que ${displaystyle V(p)=0,}$, ${displaystyle V(x)>0quad forall xin Usetminus {0}}$. A una función así la llamaremos función de Liapunov. Para ${displaystyle x}$ solución a la ecuación diferencial, la derivada de ${displaystyle Vcirc x}$ es ${displaystyle {dot {V}}(x)={frac {partial V}{partial x}}{frac {dx}{dt}}= abla Vcdot {dot {x}}= abla Vcdot f(x)}$.

Existen dos resultados debidos a Liapunov que conciernen este tipo de funciones:

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