Función compuesta

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. Se lee "g círculo f" o "g en f" o "f entonces g" o "g de f".

De manera formal, dadas dos funciones:

y

donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición de f y g. (nótese que las funciones se nombran en el orden de aplicación a la variable, no en el orden sucesivo de representación):

A todos los elementos de X se le asocia una elemento de Z según: ${displaystyle z=g(f(x))}$.

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

${displaystyle hcirc (gcirc f)=(hcirc g)circ f}$

${displaystyle (gcirc f) eq (fcirc g)}$

${displaystyle (gcirc f)^{-1}=f^{-1}circ g^{-1}}$

Sean las funciones:

La función compuesta por ende x de g y de f que expresamos:

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

y después aplicamos f a z para obtener

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

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