Función de gasto

En la microeconomía, la función de gasto describe la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita para lograr un cierto nivel de utilidad, dada una función de utilidad y precios.^[1]​

Formalmente, si hay una función de utilidad ${displaystyle u}$ que describe las preferencias sobre las ${displaystyle n}$ mercancías, la función de gasto

establece qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad ${displaystyle u^{*}}$ si los ${displaystyle n}$ precios son dados por el vector de precios ${displaystyle p}$. Esta función es definida por

donde

es el conjunto de todas las canastas que dan utilidad al menos tan buena como ${displaystyle u^{*}}$.

Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto ${displaystyle x_{1}p_{1}+dots +x_{n}p_{n}}$ sujeto a la restricción de utilidad mínima que ${displaystyle u(x_{1},dots ,x_{n})geq u^{*},}$ dando cantidades óptimas para consumir de los distintos bienes como ${displaystyle x_{1}^{*},dots x_{n}^{*}}$ como funciones de ${displaystyle u^{*}}$ y los precios; entonces la función de gasto es:

Suponga que ${displaystyle u}$ es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no saciada º en ${displaystyle R_{+}^{n}}$. Entonces ${displaystyle e(p,u)}$ es

Pruebas

(1) Como en la proposición anterior, nótese queː

${displaystyle e(lambda p,u)=min _{xin mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)geq u}}$ ${displaystyle lambda pcdot x=lambda min _{xin mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)geq u}}$ ${displaystyle pcdot x=lambda e(p,u)}$

(2) Continúa en el dominio ${displaystyle e}$: ${displaystyle { extbf {R}}_{++}^{N}*{ extbf {R}} ightarrow { extbf {R}}}$

(3) Sea ${displaystyle p^{prime }>p}$ y suponiendo ${displaystyle xin h(p^{prime },u)}$. Entonces ${displaystyle u(h)geq u}$, y ${displaystyle e(p^{prime },u)=p^{prime }cdot xgeq pcdot x}$ . De ello procede que ${displaystyle e(p,u)leq e(p^{prime },u)}$.

Para la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunas ${displaystyle u^{prime }>u}$, ${displaystyle e(p,u^{prime })leq e(p,u)}$ Que, para algunos ${displaystyle xin h(p,u)}$, ${displaystyle u(x)=u^{prime }>u}$, que contradice la conclusión de "sin exceso de utilidad" de la proposición anterior

(4) Sea ${displaystyle tin (0,1)}$ y suponiendo ${displaystyle xin h(tp+(1-t)p^{prime })}$. Entonces, ${displaystyle pcdot xgeq e(p,u)}$ y ${displaystyle p^{prime }cdot xgeq e(p^{prime },u)}$, por tanto ${displaystyle e(tp+(1-t)p^{prime },u)=(tp+(1-t)p^{prime })cdot xgeq }$${displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{prime },u)}$.

(5) ${displaystyle {frac {delta (p^{0},u^{0})}{delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

Suponga que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas ${displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$ que genera las funciones de demanda^[2]​

donde ${displaystyle I}$ es el ingreso del consumidor. Una manera de encontrar la función de gasto es encontrar primero la función de utilidad indirecta e invertirla. La función de utilidad indirecta ${displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}$ se encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda, por tanto:

donde ${displaystyle K=(.6^{.6}*.4^{.4}).}$ De esta manera, dado que ${displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}$, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto:

Alternativamente, la función de gasto puede encontrarse solucionando el problema de minimización ${displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}$ sujeto a la restricción ${displaystyle u(x_{1},x_{2})geq u^{*}.}$ Esto produce funciones de demanda condicionadas ${displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$ y ${displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$. Por tanto, la función de gasto es

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