Hélice (geometría)

Una hélice, en geometría, es el nombre que recibe toda línea curva cuyas tangentes forman un ángulo constante (α) con una dirección fija en el espacio.

Si su ecuación vectorial es ${displaystyle {ar {R}}={ar {R}}(s)}$, siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario ${displaystyle {ar {a}}}$ fijo tal que para todo s se verifica ${displaystyle {ar {T}}(s)cdot {ar {a}}=cos alpha }$ (constante).

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret.

Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique ${displaystyle {frac {kappa }{ au }}= an alpha }$, siendo ${displaystyle an alpha }$ una constante. Aquí ${displaystyle kappa ,}$ es la curvatura y ${displaystyle au ,}$ la torsión.

Las hélices más singulares son: la hélice circular, o hélice cilíndrica, la hélice cónica y la hélice esférica.

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Es decir, que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada "paso de hélice".

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones paramétricas:

(1)

Donde r es el radio de giro de la espiral, ${displaystyle omega ,}$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, t es el tiempo y k es el avance en el sentido z por unidad de tiempo, ${displaystyle epsilon =pm 1}$ según el sentido sea levógiro (+1) o dextrógiro (-1). Si de la tercera ecuación:

despejamos t:

y lo sustituimos en las dos primeras, tendremos:

(2)

Como ${displaystyle omega ,}$ y ${displaystyle k,}$ son valores conocidos y constantes, podemos definir:

con lo que tenemos:

(3)

Con lo que queda determinadas las coordenadas de la espiral, obteniéndose x e y en función de los parámetros de la espiral y de z.

Esta curva está situada sobre un cono.

Una forma paramétrica conveniente para la espiral cónica viene dada por

donde ${displaystyle alpha }$ es el ángulo de semiobertura del cono sobre el que yace la curva y ${displaystyle epsilon =pm 1}$ controla si la curva es levógira o dextrógira.

Se denomina hélice esférica a la contenida en una superficie esférica. Por ser hélice se verificará ${displaystyle {frac {kappa }{ au }}= an alpha ,}$ (constante), o lo que es lo mismo ${displaystyle au =kappa cot alpha ,}$.

Por ser una curva esférica la esfera osculatriz será constante, siendo la esfera sobre la que está situada la curva. Entonces, el radio de la esfera osculatriz es constante. Por consiguiente ${displaystyle {frac {1}{kappa ^{2}}}+{frac {kappa ^{'2}}{kappa ^{4} au ^{2}}}=a^{2}}$ (constante).

Como ${displaystyle au =kappa cot alpha ,}$, será ${displaystyle {frac {1}{kappa ^{2}}}+{frac {kappa ^{'2}}{kappa ^{6}cot ^{2}alpha }}=a^{2}}$

Haciendo el cambio ${displaystyle kappa ={frac {1}{ ho }}}$, se obtiene:

Integrando la igualdad anterior se obtiene: ${displaystyle -{sqrt {a^{2}- ho ^{2}}} an alpha =s+C}$.

Se puede hacer C = 0, tomando como origen de arcos el punto en el que ${displaystyle kappa (s)={frac {1}{a}}}$ y por tanto ${displaystyle ho =a,}$.

Aceptando esta hipótesis y elevando al cuadrado ${displaystyle -{sqrt {a^{2}- ho ^{2}}} an alpha =s}$ se obtiene ${displaystyle a^{2}- ho ^{2}=s^{2}cot ^{2}alpha ,}$.

Como: ${displaystyle ho ={frac {1}{kappa }}}$, será: ${displaystyle a^{2}-{frac {1}{kappa ^{2}}}=s^{2}cot ^{2}alpha }$

y como ${displaystyle kappa = au an alpha ,}$, resulta: ${displaystyle a^{2}-{frac {cot ^{2}alpha }{ au ^{2}}}=s^{2}cot ^{2}alpha }$, y por tanto:

Las ecuaciones obtenidas anteriormente determinan las ecuaciones intrínsecas de las hélices esféricas. Despejando ${displaystyle kappa ^{2}y au ^{2},}$ se obtiene:

En el caso general, se obtiene como ecuaciones intrínsecas:

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