Lazo (topología)

En topología, podemos asociar a cada punto p de un espacio topológico X un grupo que nos informa sobre la estructura 1-dimensional de la porción de espacio que rodea a este punto. Los elementos de este grupo, llamado grupo fundamental de X relativo al punto base p,^[1]​ son clases de equivalencia de lazos (curvas cerradas) con origen en el punto p.

Existen generalizaciones a dimensión superior de este grupo, que reciben el nombre de grupos de homotopía. El grupo fundamental recibe también el nombre de primer grupo de homotopía. De ahí la forma común de notarlo como ${displaystyle pi _{1}(X,p),}$.

Sea ${displaystyle X}$ un espacio topológico, y ${displaystyle p}$ un punto fijo de ${displaystyle X}$. Un lazo con base en ${displaystyle p}$ es una aplicación continua ${displaystyle gamma :[0,1] o X}$ que verifica ${displaystyle gamma (0)=gamma (1)=p}$.

El producto ${displaystyle alpha *eta }$ de dos lazos ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle eta }$ se define como ${displaystyle (alpha *eta )(t)={egin{cases}alpha (2t)&0leq tleq {frac {1}{2}}\eta (2t-1)&{frac {1}{2}}leq tleq 1end{cases}}}$ Esto es, el lazo ${displaystyle alpha *eta }$ primero recorre el camino de ${displaystyle alpha }$, pero a "doble velocidad" y después el de ${displaystyle eta }$, también a doble velocidad.

Las clases de homotopía son las clases de equivalencia debidas a la relación de ser homotópico. Dos lazos ${displaystyle alpha ,eta :[0,1] o X,}$ con base en un punto común p son homotópicos si existe una aplicación continua ${displaystyle H:[0,1] imes [0,1] o X,}$ tal que

Intuitivamente una clase de homotopía representa un paquete de curvas que son deformables entre sí.

El producto de dos clases de homotopía de lazos [f] y [g] se define como [f * g]. Puede demostrarse que este producto está bien definido al ser independiente de la elección de representantes. Este producto nos permite obtener una estructura de grupo: el elemento neutro será la clase [γ] del lazo trivial definido como γ(t) = p para todo t; el inverso de la clase de un lazo [f] será la clase del mismo lazo recorrido en sentido contrario (es decir, g es el elemento simétrico de f si y solo si f(t) = g(1 ­– t) para todo t ∈ [0, 1]).

El grupo fundamental de un espacio topológico ${displaystyle X,}$ basado en un punto ${displaystyle pin X}$, notado como ${displaystyle pi _{1}(X,p),}$, es el conjunto de clases de homotopía de curvas cerradas con la operación yuxtaponer clases.

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