Lema de Zorn

El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:

Debe su nombre al matemático Max Zorn.

Los términos se definen como sigue. Supóngase que (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado. Un subconjunto T de P es totalmente ordenado si para cualquier s, t ∈ T se tiene s ≤ t o t ≤ s. Tal conjunto T tiene una cota superior u ∈ P si t ≤ u para cualquier t ∈ T; no se necesita que u sea miembro de T. Un elemento m ∈ P es maximal si el único x ∈ P tal que m ≤ x es m mismo.

Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros. Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica.

Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal. Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.

Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal I ⊆ R que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P). Sea I la unión de todos los ideales en T. Esta es también un ideal: para cualquier a, b ∈ I, existen J, K ∈ T tales que a ∈ J y b ∈ K. Como T está totalmente ordenado, K ⊆ J o J ⊆ K. En el primer caso, b ∈ J y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, ra ∈ J ⊆ I para cualquier r ∈ R. En el segundo caso se razona de manera similar.

Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y sólo si incluye a 1. Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier r ∈ R, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un J ∈ T tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.

Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.

Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1. De lo contrario, no sólo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.