Unión de conjuntos

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ${displaystyle cup }$ , de modo que por ejemplo:

Dados dos conjuntos A y B, su unión es el conjunto que contiene todos los elementos, que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A o B:

La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A y/o de B:

${displaystyle xin Acup B{ ext{ cuando }}xin A{ ext{ o }}xin B{ ext{ (o en sentido inclusivo)}}}$

^[1]​

Ejemplo.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:^{[n 1]}​

Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:

La unión de una colección finita de conjuntos A₁, ..., A_n es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dicha colección:

${displaystyle A_{1}cup ldots cup A_{n}={x:xin A_{k}{ ext{ donde }}1leq kleq n}}$

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

${displaystyle A_{1}cup A_{2}cup ldots cup A_{n}=A_{1}cup (A_{2}cup (ldots (A_{n-1}cup A_{n}){scriptstyle ldots }))}$

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:

Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

${displaystyle xin igcup M{ ext{ cuando }}xin A{ ext{ para alg}}{acute { ext{u}}}{ ext{n }}Ain M}$

Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

${displaystyle igcup M=igcup _{Ain M}A=igcup _{iin I}A_{i}{ ext{ ,}}}$

donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando M como {A_i: i ∈ I}.

De la definición de unión puede deducirse directamente:

La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.

En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la suma de los elementos de A y de B, si no tienen elementos en común.

Si A y B son finitos y disjuntos:

${displaystyle |Acup B|=|A|+|B|}$

Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo:

Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de A ∪ B:

Dados dos conjuntos finitos A y B :

${displaystyle |Acup B|=|A|+|B|-|Acap B|}$

Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión de un número arbitrario de conjuntos finitos. Por ejemplo en el caso de tres conjuntos se tiene:

y en general se tiene el llamado principio de inclusión-exclusión:

Dada una colección finita de conjuntos A₁, ..., A_n :

${displaystyle |A_{1}cup ldots cup A_{n}|=sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-sum _{1leq i<jleq n}|A_{i}cap A_{j}|+sum _{1leq i<j<kleq n}|A_{i}cap A_{j}cap A_{k}|- ldots +(-1)^{n-1}|A_{1}cap ldots cap A_{n}|}$

En el caso de que alguno de los conjuntos involucrados sea infinito, las expresiones anteriores siguen siendo válidas, entendiéndolas como afirmaciones relativas a cardinales infinitos (con ciertas modificaciones).

En teoría axiomática de conjuntos no puede demostrarse la existencia de la unión de conjuntos a partir de propiedades más básicas. Es por ello que se postula la existencia de la unión, añadiendo como axioma el llamado axioma de unión.