Notación de Landau

En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma:

Si f(x), g(x) son funciones complejas definidas en un entorno de un punto ${displaystyle x_{0}}$, entonces

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean ${displaystyle f(x),!}$, ${displaystyle g(x),!}$ dos funciones definidas para ${displaystyle x>x_{0}.,!}$ y sea ${displaystyle g(x) eq 0 forall x>x_{0},!}$. Los símbolos

significan respectivamente que ${displaystyle f(x)/g(x) o 0,!}$ cuando ${displaystyle x o x_{0},!}$, y que ${displaystyle f(x)/g(x),!}$ está acotado para ${displaystyle x,!}$ suficientemente grande. La misma notación es usada cuando ${displaystyle x,!}$ tiende a un límite finito o a ${displaystyle -infty ,!}$, o también cuando ${displaystyle x,!}$ tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es ${displaystyle o(1),!}$ o ${displaystyle O(1),!}$ si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones ${displaystyle f(x),!}$ y ${displaystyle g(x),!}$ definidas en una vecindad de un punto ${displaystyle x_{0},!}$ (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si ${displaystyle f(x)/g(x) o 1,!}$ cuando ${displaystyle x o x_{0},!}$

Si las fracciones ${displaystyle f(x)/g(x),!}$, ${displaystyle g(x)/f(x),!}$ están acotadas en una vecindad de ${displaystyle x_{0},!}$ se dice que ${displaystyle f(x),!}$, ${displaystyle g(x),!}$ son del mismo orden cuando ${displaystyle x o x_{0},!}$

Contexto de las propiedades

Sean ${displaystyle a,bin mathbb {R} ,!}$ y supóngase que ${displaystyle f,!}$ es una función definida sobre un intervalo finito o infinito ${displaystyle aleq x<b,!}$ y es integrable sobre cualquier intervalo ${displaystyle (a,b'),!}$ con ${displaystyle b'<b,!}$ podemos escribir

Sea ${displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},ldots ,!}$ una sucesión de números y sea

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades: