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Regla de Ruffini



En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).[1]​ El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite así mismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (siendo r un número entero) si es coherente.

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado, con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.[2]​ El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;[3]​ en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).[4]​ El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.[5]

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

entre el binomio:

para obtener el cociente:

y el resto:

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante de grado uno menos que el grado de . El residuo es

División de

entre

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

3. Sumando la columna:

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:


Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

Tomamos

Usamos el método, y nos queda así:

Entonces F(x) se factoriza

División por polinomio con coeficientes complejos:

Tomamos

Usamos el método, y nos queda así:

Si es un polinomio con coeficientes enteros y con a0 y an distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a0 y q es un entero divisor de an. Así por ejemplo, si el polinomio es

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a0 (−2):

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.



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