En geometría discreta y mecánica, la rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de los conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por enlaces flexibles o bisagras.
La rigidez es la propiedad de una estructura que no se dobla ni flexiona bajo una fuerza aplicada. Lo contrario de rigidez es la flexibilidad. En la teoría de la rigidez estructural, las estructuras están formadas por colecciones de objetos que son en sí mismos cuerpos rígidos, que a menudo se asume que adoptan formas geométricas simples, como barras rectas (segmentos de línea), con pares de objetos conectados por bisagras flexibles. Una estructura es rígida si no puede flexionarse; es decir, si no hay un movimiento continuo de la estructura que preserva la forma de sus componentes rígidos y el patrón de sus conexiones en las bisagras.
Hay dos tipos de rigidez esencialmente diferentes. La rigidez finita o macroscópica significa que la estructura no se flexionará, plegará ni doblará en una cantidad positiva. La rigidez infinitesimal significa que la estructura no se flexionará ni siquiera en una cantidad que sea demasiado pequeña para ser detectada incluso en teoría. (Técnicamente, eso significa que ciertas ecuaciones diferenciales no tienen soluciones distintas de cero). La importancia de la rigidez finita es obvia, pero la rigidez infinitesimal también es crucial porque, en teoría, la flexibilidad infinitesimal corresponde a la flexión minúscula del mundo real y al consiguiente deterioro de la estructura.
Un gráfico rígido es una incrustación de un gráfico en un espacio euclidiano que es estructuralmente rígido. Es decir, un gráfico es rígido si la estructura formada al reemplazar los bordes por varillas rígidas y los vértices por bisagras flexibles es rígida. Una gráfica que no es rígida se llama flexible. Más formalmente, una incrustación de gráfico es flexible si los vértices se pueden mover continuamente, preservando las distancias entre vértices adyacentes, con el resultado de que las distancias entre algunos vértices no adyacentes se alteran. La última condición descarta congruencias euclidianas como la simple traducción y rotación.
También es posible considerar problemas de rigidez para gráficos en los que algunos bordes representan elementos de compresión (capaces de estirarse a una longitud más larga, pero no contraerse a una longitud más corta) mientras que otros bordes representan elementos de tensión (capaces de contraerse pero no estirarse). Un gráfico rígido con bordes de estos tipos forma un modelo matemático de una estructura de tensegridad .
El problema fundamental es cómo predecir la rigidez de una estructura mediante el análisis teórico, sin tener que construirla. Los resultados clave en esta área incluyen lo siguiente:
Sin embargo, en muchas otras situaciones simples todavía no siempre se sabe cómo analizar matemáticamente la rigidez de una estructura a pesar de la existencia de una considerable teoría matemática.
Uno de los fundadores de la teoría matemática de la rigidez estructural fue el gran físico James Clerk Maxwell. A finales del siglo XX se produjo una eflorescencia de la teoría matemática de la rigidez, que continúa en el siglo XXI.
"[Una] teoría del equilibrio y las desviaciones de los marcos sometidos a la acción de las fuerzas está actuando sobre la dureza de la calidad... en los casos en que el marco... se refuerza con piezas de conexión adicionales ... en los casos de tres Dimensiones, por el método regular de ecuaciones de fuerzas, cada punto tendría tres ecuaciones para determinar su equilibrio, para dar ecuaciones de 3s entre e cantidades desconocidas, si s es el número de puntos y e el número de conexiones [sic]. Sin embargo, existen seis ecuaciones de equilibrio del sistema que deben ser cumplidas necesariamente por las fuerzas, debido a la igualdad de acción y reacción en cada pieza. Por lo tanto, si e == 3s-6, el efecto de cualquier fuerza eterna será definitivo en la producción de tensiones o presiones en las diferentes piezas; pero si e> 3s-6, estas fuerzas serán indeterminadas...." [Maxwell 1864]
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