Suma conexa

En matemáticas, y específicamente en topología, la operación de suma conexa es una modificación geométrica realizada sobre variedades. Su efecto consiste en unir dos variedades (topológicas o diferenciables) de la misma dimensión cerca de un punto escogido en cada una de ellas. Esta construcción desempeña un papel fundamental en la clasificación de superficies compactas.

También es posible unir variedades a lo largo de sendas subvariedades idénticas. Existe por último una noción íntimamente relacionada, denominada suma o composición de nudos.

Una suma conexa de dos variedades m-dimensionales es una variedad obtenida tras eliminar una bola abierta en cada variedad y pegar las fronteras esféricas que estas eliminaciones producen. Si ambas variedades son variedades orientadas, hay una única suma conexa (salvo homeomorfismos) definida al exigir que la aplicación que efectúa el pegado invierta la orientación. Esta misma operación puede extenderse a la categoría de variedades diferenciables, y resulta en ese caso única salvo difeomorfismos.

La operación de suma conexa se nota por el símbolo # por ejemplo, A # B denota la suma conexa de A y B.

Lo que no podemos encontrar es un elemento inverso para cada variedad, con lo que podemos decir que las clases de equivalencias de variedades homeomorfas junto con la operación suma conexa forman un semigrupo.

Si uno tratara un nudo simplemente como una variedad de dimensión 1, la suma conexa de dos nudos coincidiría con la noción de suma conexa de variedades. Sin embargo, la esencia de un nudo no es sólo su estructura de variedad (en este sentido, todos los nudos son circunferencias) sino la forma en que este está embebido en el espacio ambiente. Así, la suma conexa de nudos requiere de una definición más elaborada para que con el resultado se obtenga un embebimiento correcto. A continuación damos una descripción esquemática de la definición:

Con este procedimiento obtenemos la proyección de un nuevo nudo, que llamaremos la suma conexa o composición de los nudos originales. La suma conexa de dos nudos K y H se nota, al igual que la de variedades, como K # H.

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