Tensor de deformación

El tensor deformación o tensor de deformaciones es un tensor simétrico usado en mecánica de medios continuos y mecánica de sólidos deformables para caracterizar el cambio de forma y volumen de un cuerpo. En tres dimensiones un tensor (de rango dos) de deformación tiene la forma general:

Donde cada una de los componentes del tensor anterior es una función cuyo dominio es el conjunto de puntos del cuerpo cuya deformación pretende caracterizarse. El tensor de deformaciones está relacionado con el tensor de tensiones mediante las ecuaciones de Hooke generalizadas, que son relaciones de tipo termodinámico o ecuaciones constitutivas para el material del que está hecho el cuerpo.

Téngase en cuenta que estos componentes ε_ij) en general varían de punto a punto del cuerpo y por tanto la deformación de cuerpos tridimensionales se representa por un campo tensorial.

En mecánica de medios continuos se distingue entre varios tipos de tensores para representar la deformación. Los tensores finitos de deformación miden la verdadera deformación, pueden usarse tanto deformaciones grandes como pequeñas y pueden dar cuenta de no linealidades geométricas. Cuando las deformaciones son pequeñas con bastante adecuación se puede usar el tensor infinitesimal de deformaciones que se obtiene despreciando algunos términos no lineales de los tensores finitos. En la práctica más común de la ingeniería para la mayoría de aplicaciones prácticas se usan tensores infinitesimales. Además para los tensores finitos se diferencia entre tensores materiales y tensores espaciales según sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.

${displaystyle { ilde {varepsilon }}_{ij}={1 over 2}left({partial u_{i} over partial x_{j}}+{partial u_{j} over partial x_{i}} ight)qquad Rightarrow {egin{cases}varepsilon _{xx}={cfrac {partial u}{partial x}},quad varepsilon _{yy}={cfrac {partial v}{partial y}},quad varepsilon _{zz}={cfrac {partial w}{partial z}}\varepsilon _{xy}=varepsilon _{yx}={cfrac {1}{2}}left({cfrac {partial u}{partial y}}+{cfrac {partial v}{partial x}} ight)\varepsilon _{xz}=varepsilon _{zx}={cfrac {1}{2}}left({cfrac {partial u}{partial z}}+{cfrac {partial w}{partial x}} ight)\varepsilon _{yz}=varepsilon _{zy}={cfrac {1}{2}}left({cfrac {partial v}{partial z}}+{cfrac {partial w}{partial y}} ight)end{cases}}}$

Donde:

Los componentes del tensor infinitesimal de Green-Cauchy admiten interpretaciones físicas relativamente simples:

Todos estos tensores se construyen a partir del tensor gradiente de deformaciones (tensores materiales) o bien de su inverso (tensores espaciales). Si pensamos que una deformación es una aplicación: ${displaystyle mathbf {T_{D}} :Ksubset mathbb {R} ^{3} ightarrow K'subset mathbb {R} ^{3}}$ donde K es el conjunto de puntos del espacio ocupados por el sólido (o medio continuo) antes de la deformación y K' el conjunto de puntos del espacio ocupados después de la deformación. Entonces podemos definir tensor gradiente de deformaciones como la matriz jacobiana de T_D:

Donde (x,y,z) representan las coordenadas de un punto genérico antes de la deformación y (x',y',z' ) las coordenadas del mismo punto después de la deformación. En función de este tensor gradiente de deformaciones se definien los siguientes tensores finitos de deformación:

${displaystyle mathbf {D} _{m}=mathbf {E} ={frac {1}{2}}(mathbf {F} ^{T}mathbf {F} -mathbf {1} )}$

${displaystyle varepsilon _{ij}={1 over 2}left({partial u_{i} over partial x_{j}}+{partial u_{j} over partial x_{i}}+sum _{k}{partial u_{k} over partial x_{i}}{partial u_{k} over partial x_{j}} ight)}$

Si se conce el tensor deformación de un sólido y las dimensiones originales de un cuerpo, pueden calcularse las magnitudes que definen la forma del cuerpo deformado.

Si se consideran dos curvas, dos rectas o dos aristas de un sólido deformado que se cruzan en un punto P del sólido, la relación entre el ángulo inicial (antes de la deformación) y final (después de la deformación) que forman dichas direcciones calcularse a partir de la siguiente expresión:

${displaystyle 2mathbf {n} _{1}cdot mathbf {D_{m}} (mathbf {n} _{2})={sqrt {1+2varepsilon _{1}}}{sqrt {1+2varepsilon _{2}}}cos heta _{0}-cos heta _{f}}$

Donde:

Para deformaciones angulares pequeñas la expresión anterior puede aproximarse mediante la relación aproximada:

${displaystyle Delta heta = heta _{f}- heta _{0}approx {frac {(varepsilon _{1}+varepsilon _{2})cos heta _{0}-2mathbf {n} _{1}cdot mathbf {D_{e}} (mathbf {n} _{2})}{sin heta _{0}}}}$

Esta última es la expresión más comúnmente usada en las aplicaciones prácticas e ingenieriles. Cuando las dos direcciones son perpendiculares la expresión anterior se vuelve tan simple como:

${displaystyle Delta heta = heta _{f}- heta _{0}approx 2mathbf {n} _{1}cdot mathbf {D_{e}} (mathbf {n} _{2})}$

De esa última ecuación surge la interpretación que se hace usualmente en elasticidad de lineal de interpretar los componentes fuera de la diagonal del tensor deformación como variaciones angulares:

${displaystyle Delta heta _{xy}=2varepsilon _{xy},quad Delta heta _{xz}=2varepsilon _{xz},quad Delta heta _{yz}=2varepsilon _{yz}}$

Dado un punto de un sólido deformable la relación entre el volumen final V' de un entorno arbitrariamente pequeño alrededor de dicho punto y el volumen inicial V puede expresarse mediante la relación diferencial:

${displaystyle {frac {dV'}{dV}}={sqrt {1+2{mbox{tr}}(mathbf {D_{m}} )+4I_{2}(mathbf {D_{m}} )+8det(mathbf {D_{m}} )}}approx 1+{mbox{tr}}({ ilde {oldsymbol {varepsilon }}})=1+left({ ilde {varepsilon }}_{xx}+{ ilde {varepsilon }}_{yy}+{ ilde {varepsilon }}_{zz} ight)}$

La relación de densidad final y densidad inicial dado que la masa se conserva es inversa de la relación anterior.

Localmente la deformación de un sólido se puede representar por acortamientos o estiramientos en tres direcciones mutuamente perpendiculares. En cada punto de un sólido deformable las direcciones principales son precisamente las tres direcciones en las que se producen los estiramientos que localmente caracterizan la deformación.

Desde un punto de vista algebraico las direcciones principales pueden calcularse considerando los valores y vectores propios del tensor deformación en el punto estudiado.

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